Решить для всех значений $%a$%: $%\sqrt{|x|+1} - \sqrt{|x|} = a$%

Поскольку при всех $%х$%: $%\sqrt{|x|+1} > \sqrt{|x|}$%, то при $%a \leq 0$% решений нет.

Остаётся рассмотреть случай $%a>0$%, но избавиться от радикалов (или сделать еще что-нибудь осмысленное) у меня никак не выходит. Подскажите, пожалуйста.

задан 8 Май '17 15:18

Постройте график a=sqrt(|x|+1)-sqrt(|x|)

(8 Май '17 15:21) epimkin

@epimkin: а как это поможет найти x?

(8 Май '17 16:23) falcao

@falcao график поможет определить кол-во решений при различных а, а искать их можно, да, двойным возведением в квадрат. Там тоже несложно особо

(9 Май '17 1:52) epimkin

@epimkin: в каких-то других задачах, где надо оценить число решений, это могло бы помочь, но здесь всё равно решать пришлось бы аналитически, и тогда вид графика не слишком важен. Скажем, я только сейчас из любопытства посмотрел в Maple, как он выглядит.

С двойным возведением в квадрат, если перенести один из корней в другую часть, всё в принципе быстро находится.

(9 Май '17 2:37) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Можно рассуждать так: если $%a > 0$%, то обратная величина равна $%\frac1a=\frac1{\sqrt{|x|+1}-\sqrt{|x|}}=\sqrt{|x|+1}+\sqrt{|x|}$% после домножения на сумму корней. Это число не меньше 1, поэтому при $%a > 1$% решений тоже не будет. Теперь нам известна сумма и разность двух выражений, откуда $%\sqrt{|x|}=\frac12(\frac1a-a)$%. Следовательно, $%|x|=\frac14(\frac1{a^2}+a^2-2)$%, то есть $%x=\pm\frac14(\frac1{a^2}+a^2-2)$%. При $%a=1$% это даёт $%x=0$%, а при $%0 < a < 1$% будет два различных значения.

Теперь надо сделать проверку: $%|x|+1=\frac14(\frac1{a^2}+a^2+2)=\frac14(\frac1a+a)^2$%, откуда $%\sqrt{|x|+1}=\frac12(\frac1a+a)$%, и тогда разность $%\sqrt{|x|+1}-\sqrt{|x|}$% действительно равна $%a$%.

ссылка

отвечен 8 Май '17 16:23

Спасибо! Вроде, простое, красивое решение, но для меня пока довольно необычно.

(9 Май '17 1:25) MathAsk

@MathAsk: эта идея встречается в задачах очень часто, если где-то присутствует разность двух квадратных корней. Составители задачи, скорее всего, на её применение и рассчитывали. Если её не применять, то получается двойное возведение в квадрат или что-то типа этого. Через это, скорее всего, тоже можно "продраться", но я не пробовал. То есть этот приём полезно усвоить, и применять тогда, когда он уместен.

(9 Май '17 1:29) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×251

задан
8 Май '17 15:18

показан
382 раза

обновлен
9 Май '17 2:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru