Функция $%f(x)$% дифференцируема на отрезке $%[a;b]$%, при чем $%f'(a)=0$% и $%x\in(a;b]\Rightarrow f'(x)\gt0$%. Как правильно писать: "функция возрастает на $%[a;b]$%" или "на $%(a;b]$%"? То есть, надо ли включать в интервал точку экстремума? Или вообще без разницы?

задан 17 Янв '13 6:36

10|600 символов нужно символов осталось
1

Функция возрастает и на $%[a;b],$% и на $%(a;b)$%. Без разницы $%f^{'}(a)=0$% или нет, важно чтобы функция была непрерывной в точках $%a$% и $%b,$% и $%f^{'}(x)>0, x\in (a;b).$%

ссылка

отвечен 17 Янв '13 8:31

изменен 19 Янв '13 21:01

10|600 символов нужно символов осталось
0

Корректнее написать "возрастает на $%(a,b]$%". Возьмем, например, функцию $%y=x^2$%. Если мы скажем, что она возрастает на отрезке $%[0,1]$% и убывает на отрезке $%[-1,0]$%, то получится, что в точке 0 она одновременно и возрастает, и убывает. Хотя на самом деле - ни то, ни другое - в этой точке она стационарна!

ссылка

отвечен 17 Янв '13 12:41

1

Нет, неверно! Функция именно возрастает на одном отрезке и убывает на другом, это не противоречит определению возрастания/убывания.
Вообще возрастание/убывание - свойство, не определяющееся через производные! А стационарная точка - та, где скорость изменения падает до 0, но это ведь в одной точке! Например, функция $%x^3$% возрастает на всей оси, хотя и имеет стационарную точку.
А говорить, что в одной точке функция возрастает или убывает - вообще бессмысленно, так как определение начинается со слов "для любых точек x, y, таких что x < y". В одной точке этого не проверишь.

(17 Янв '13 13:09) DocentI

Ну, зачем же так категорично? Конечно, возрастание или убывание не определяется через производные. Но можно под поведением непрерывной функции в точке понимать ее поведение в любой достаточно малой окрестности этой точки. Т.е. "функция является возрастающей в точке $%x_0$%, если для любых двух точек $%x_1$% и $%x_2$% из любой достаточно малой $%\epsilon$% -окрестности точки $%x_0$%, таких что $%x_1 < x_2$% выполняется неравенство $%f(x_1)<f(x_2)$%". Такое определение является естественным и логичным, в соответствии с ним, кстати, функция $%x^3$% возрастает в нуле.

(17 Янв '13 13:50) Андрей Юрьевич

Ну, вопрос же был о промежутке. И классическое определение выполняется на каждом из упомянутых отрезков.
Что касается "локального" определения монотонности в точке, оно, конечно, возможно, но все-таки не общепринято, так что его надо специально оговаривать.
Но даже и такая монотонность не следует из возрастания/убывания на каждом отрезке отдельно!

(17 Янв '13 14:22) DocentI

Я и не говорю, что следует. Вопрос, собственно, терминологический "как лучше написать?". Наверное, правильный ответ "можно и так, и так в зависимости от конкретной задачи". Какие-либо подводные камни, когда из-за одного слова в определении полностью меняется суть, здесь не просматриваются, скорее, это относится к вопросам привычки и удобства.

(17 Янв '13 14:31) Андрей Юрьевич

Ну ладно, мир! Меня смутило слово "корректнее", хотя на самом деле выполняется и то, и другое. Более того, из возрастания на отрезке $%[a; b]$% следует возрастание на любой его части, в частности, на полуинтервале. Так что ответ с отрезком более полный.

(17 Янв '13 14:39) DocentI

Спасибо всем! Приятно видеть, что тут есть споры, в которых всё таки рождается истина :)
Да, я забыл про определение и меня немного смущало, что в интервал монотонности включается точка, в которой нулевая производная, горизонтальная касательная и всё такое... Если я сделал правильные выводы, то из-за определения говорить "$%x^2$% возрастает на $%[0;+\infty)$%" вполне корректно, а вот "$%2x+|x-1|-|x+1|$% (см. график) возрастает на $%(-\infty;+\infty)$%" - уже нельзя. Верно?

(18 Янв '13 15:22) chameleon

Совершенно верно.

(18 Янв '13 15:37) Андрей Юрьевич

Это вопрос терминологический. Иногда вводят пару терминов возрастающий/строго возрастающий, а в других пособиях возрастающий/неубывающий. Я склонна к первому случаю, так что функцию, имеющую отрезок постоянства, также назову возрастающей (нестрого).

(18 Янв '13 15:50) DocentI

Согласен, я тоже использую такую терминологию. Термины "неубывающая" и "невозрастающая" не очень хороши, как утверждают психологи, наше подсознание не понимает частицу "НЕ".

(18 Янв '13 20:43) Андрей Юрьевич
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,116

задан
17 Янв '13 6:36

показан
852 раза

обновлен
19 Янв '13 21:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru