|
Функция $%f(x)$% дифференцируема на отрезке $%[a;b]$%, при чем $%f'(a)=0$% и $%x\in(a;b]\Rightarrow f'(x)\gt0$%. Как правильно писать: "функция возрастает на $%[a;b]$%" или "на $%(a;b]$%"? То есть, надо ли включать в интервал точку экстремума? Или вообще без разницы? задан 17 Янв '13 6:36 
chameleon |
|
Функция возрастает и на $%[a;b],$% и на $%(a;b)$%. Без разницы $%f^{'}(a)=0$% или нет, важно чтобы функция была непрерывной в точках $%a$% и $%b,$% и $%f^{'}(x)>0, x\in (a;b).$% отвечен 17 Янв '13 8:31 
ASailyan |
|
Корректнее написать "возрастает на $%(a,b]$%". Возьмем, например, функцию $%y=x^2$%. Если мы скажем, что она возрастает на отрезке $%[0,1]$% и убывает на отрезке $%[-1,0]$%, то получится, что в точке 0 она одновременно и возрастает, и убывает. Хотя на самом деле - ни то, ни другое - в этой точке она стационарна! отвечен 17 Янв '13 12:41 
Андрей Юрьевич 1
Нет, неверно! Функция именно возрастает на одном отрезке и убывает на другом, это не противоречит определению возрастания/убывания.
(17 Янв '13 13:09)
DocentI
Ну, зачем же так категорично? Конечно, возрастание или убывание не определяется через производные. Но можно под поведением непрерывной функции в точке понимать ее поведение в любой достаточно малой окрестности этой точки. Т.е. "функция является возрастающей в точке $%x_0$%, если для любых двух точек $%x_1$% и $%x_2$% из любой достаточно малой $%\epsilon$% -окрестности точки $%x_0$%, таких что $%x_1 < x_2$% выполняется неравенство $%f(x_1)<f(x_2)$%". Такое определение является естественным и логичным, в соответствии с ним, кстати, функция $%x^3$% возрастает в нуле.
(17 Янв '13 13:50)
Андрей Юрьевич
Ну, вопрос же был о промежутке. И классическое определение выполняется на каждом из упомянутых отрезков.
(17 Янв '13 14:22)
DocentI
Я и не говорю, что следует. Вопрос, собственно, терминологический "как лучше написать?". Наверное, правильный ответ "можно и так, и так в зависимости от конкретной задачи". Какие-либо подводные камни, когда из-за одного слова в определении полностью меняется суть, здесь не просматриваются, скорее, это относится к вопросам привычки и удобства.
(17 Янв '13 14:31)
Андрей Юрьевич
Ну ладно, мир! Меня смутило слово "корректнее", хотя на самом деле выполняется и то, и другое. Более того, из возрастания на отрезке $%[a; b]$% следует возрастание на любой его части, в частности, на полуинтервале. Так что ответ с отрезком более полный.
(17 Янв '13 14:39)
DocentI
Спасибо всем! Приятно видеть, что тут есть споры, в которых всё таки рождается истина :)
(18 Янв '13 15:22)
chameleon
Совершенно верно.
(18 Янв '13 15:37)
Андрей Юрьевич
Это вопрос терминологический. Иногда вводят пару терминов возрастающий/строго возрастающий, а в других пособиях возрастающий/неубывающий. Я склонна к первому случаю, так что функцию, имеющую отрезок постоянства, также назову возрастающей (нестрого).
(18 Янв '13 15:50)
DocentI
Согласен, я тоже использую такую терминологию. Термины "неубывающая" и "невозрастающая" не очень хороши, как утверждают психологи, наше подсознание не понимает частицу "НЕ".
(18 Янв '13 20:43)
Андрей Юрьевич
показано 5 из 9
показать еще 4
|
