Λ(n) - функция Мангольдта, Λ(n)=log(p), n=p^k, k из N, 0, иначе. Пусть ψ(t)=∑Λ(n) [n≤t]. Доказать, что log(s)(π(t)-π(s))≤ψ(t)≤log(t)∑π(t^(1/k)))

задан 8 Май '17 20:17

А что такое s в неравенствах?

(8 Май '17 20:39) falcao

@falcao: 1 ≤ s ≤ t

(8 Май '17 21:35) julija
10|600 символов нужно символов осталось
1

Можно везде перейти к экспонентам. Из определения следует, что $%e^{\psi(t)}$% равно наименьшему общему кратному натуральных чисел, не превосходящих $%t$%. Действительно, если $%p$% -- простое, и $%m$% -- максимальный показатель, для которого $%p^m\le t$%, то при сложении значений функции Мангольдта, $%\ln p$% встретится ровно $%m$% раз. Поэтому получается произведение степеней простых чисел вида $%p^m$%, где $%m=m(p)=\lfloor\frac{\ln t}{\ln p}\rfloor$% (хотя явный вид показателя в виде формулы здесь не важен).

Для наглядности, можно выписать значение функции $%e^{\psi(t)}$% для $%t=100$%. Для каждого простого числа мы сразу видим, в какой степени оно не превосходит $%100$%. И получается $%2^6\cdot3^4\cdot5^2\cdot7^2\cdot11\cdot13\cdot\ldots\cdot97$%, где в конце идёт произведение простых чисел.

Оценка сверху для экспоненты имеет вид $%t^{\pi(t)+\pi(\sqrt{t})+\pi(\sqrt[3]{t})}+\cdots$%. Легко понять, откуда она берётся. Мы по разу перемножаем все простые числа, не превосходящие $%t$%, количестве $%\pi(t)$% штук, и каждое из них грубо оцениваем сверху величиной $%t$%. Какие-то из простых чисел идут в произведении в степенях $%2$% и более. Их надо учесть ещё раз. Это те числа, для которых $%p^2\le t$%, и их имеется $%\pi(\sqrt{x})$%. Те числа, показатель степени при которых не меньше $%3$%, мы учитываем третий раз, и их произведение оцениваем сверху величиной $%t^{\pi(\sqrt[3]{t})}$%, и так далее.

Теперь проверим другое неравенство. Пусть $%1\le s\le t$%. Рассмотрим простые числа, большие $%s$%. Их имеется $%\pi(t)-\pi(s)$%. Каждое из них входит в произведение для НОК, то есть для $%e^{\psi(t)}$%, и поэтому оцениваемая функция не меньше $%s^{\pi(t)-\pi(s)}$%. Это и есть оценка снизу для экспоненты.

ссылка

отвечен 8 Май '17 22:43

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×883

задан
8 Май '17 20:17

показан
499 раз

обновлен
8 Май '17 22:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru