Можете объяснить принцип нахождения интеграла в №4, 5 и 6 каждого варианта. Я побывала решать, но очень сложно все получается.

задан 8 Май '17 23:50

Как это "каждого варианта"? Зачем? Там ведь задачи под одним и тем же номером однотипные. Если нет, то можно потом уточнить отдельно.

По варианту 1: в №4 делаем замену y=sqrt(2x+1). Получается простенький интеграл от рациональной функции. В №5 делим числитель и знаменатель на cos^2(x). Знаменатель выражается через тангенс. В числителе dx/cos^2(x) равно d(tg x). Замена y=tg(x) даёт интеграл табличного вида. В №6 интегрируем по частям, полагая xdx=d(x^2/2).

(9 Май '17 1:07) falcao

По второму варианту можно тоже самое? И еще в третьем варианте третий номер, нужно же решать по методу неопределенных коэффициентов? Верна ли функция A/x+(Bx+C)/(x^2+4)?

(9 Май '17 1:11) ASDMomentum

В варианте 2 отличается №4. Там надо выделить полный квадрат в знаменателе: (x+2)^2+4. Числитель записывается как 10-(x+2), что даёт разность двух интегралов. Первый -- табличный, а во втором можно сделать замену y=(x+2)^2+4. Тогда dy=2(x+2)dx. В №5 тоже замена через тангенс с учётом того, что d(tg2t)=2(1+tg^2(2t))dt. Полезно вычесть и прибавить 1, и разложить y^4-1=(y^2-1)(y^2+1), где y -- это tg.

В 3.3, конечно, разложение на простейшие дроби методом неопределённых коэффициентов. Вид представления не совсем точный: сначала надо с остатком поделить, чтобы числитель имел меньшую степень.

(9 Май '17 1:39) falcao

@falcao, большое спасибо, я не могу додуматься до этого "d(tg2t)=2(1+tg^2(2t))dt", как нашли?

(9 Май '17 11:51) ASDMomentum

@ASDMomentum: производная тангенса (без удвоения угла) равна 1/cos^2(t). Обычно записывают в таком виде, но полезно знать, что это тождественно равно 1+tg^2(t). Здесь ещё множитель 2 возникает за счёт 2t.

На самом деле, Вы сами могли это утверждение проверить, найдя производную tg2t, и сличив её с тем, что написано.

(9 Май '17 13:01) falcao

@falcao, последний вопрос, №2, вариант №4, какую функцию брать в качестве f, а какую в качестве dg? По-моему нужно же использовать метод интегрирования по частям? И еще номер №4, 5, 6 того же варианта как решать? Спасибо.

(9 Май '17 13:08) ASDMomentum

@ASDMomentum: log_3(x)=ln(x)/ln(3), поэтому всё сводится к натуральному логарифму. Если перед нами интеграл вида int P(x)ln(x)dx, где P -- полином, то пишем ln(x)dQ(x), где Q -- первообразная полинома P, находимая устно. Далее по частям, где логарифм исчезнет после дифференцирования.

Вопросы типа "как решать" или "какие приёмы применять" можно задавать сколько угодно. Важно, чтобы от ответов была новая информация, и чтобы это не превращалось в решение домашних заданий и "проверку тетрадок". А на дельные вопросы по способам решения всегда отвечают охотно.

(9 Май '17 13:33) falcao

@falcao, в №4 варианта №4, в знаменателе выделила полный квадрат, сделала замену u=x+1, дальше как не подскажите? В №6 делаю интегрирование по частям - f=arctg(x), dg=(x+2)dx, вроде бы функция упростилась, но все равно дальше не понимаю как решать. А по №5, все еще хуже, даже ни чего не смогла применить :-( но зато все другие номера с вашей помощью решила :-)

(9 Май '17 17:26) ASDMomentum

@ASDMomentum: сейчас кратко напишу про эти интегралы в форме ответа.

(9 Май '17 19:12) falcao
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
1

4.4. $%\int\frac{(4x-1)\,dx}{\sqrt{x^2+2x+5}}=\int\frac{(4y-5)\,dy}{\sqrt{y^2+4}}$% представляем в виде разности двух интегралов. В первом получится $%2\frac{d(y^2+4)}{\sqrt{y^2+4}}$%, и первообразная выражается через квадратный корень. Во втором случае получается табличный интеграл $%\int\frac{dy}{\sqrt{y^2+a^2}}$% при $%a=2$%. Что вызвало трудности в этом примере, не вполне понятно.

4.5. В большинстве случаев, интегралов такого типа вычисляются при помощи универсальной тригонометрической замены $%t=\tan\frac{x}2$%. (В других вариантах удавалось обойтись без неё.) Имеют место формулы, которые полезно запомнить: $%\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$%; $%\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$%. Кроме того, $%dx=2d(\arctan t)=\frac{2dt}{1+t^2}$%. Интеграл принимает вид $%\int\frac{dt}{t^2+3}$%, то есть становится табличным.

4.6. Тут всё достаточно стандартно: $%\int(x+2)\arctan x\,dx=\int\arctan x\,d(\frac{x^2}2+2x)=(\frac{x^2}2+2x)\arctan x-\int(\frac{x^2}2+2x)\,d(\arctan x)$%. В конце получается интеграл от рациональной функции $%\frac12\frac{x^2+4x}{x^2+1}$%. Без учёта множителя, дробь равна $%1+\frac{4x-1}{x^2+1}$%. Единица легко интегрируется, а дальше рассматриваем разность двух интегралов. Один имеет вид $%2\int\frac{d(x^2+1)}{x^2+1}$%, и это логарифм (надо запомнить сам этот вид интеграла, когда в числителе находится производная знаменателя), и остаётся табличный интеграл для арктангенса.

Этот пример тоже вполне типовой, и трудностей при вычислении вызывать вроде не должен.

ссылка

отвечен 9 Май '17 19:35

@falcao, спасибо. Было мало практики в нахождении подобных интегралов, поэтому и не смогла

(9 Май '17 20:44) ASDMomentum

@ASDMomentum: здесь вопрос только в том, какие приёмы надёжно освоены, а какие нет. Вот, например: я уверен, что Вы твёрдо усвоили общую идею интегрирования по частям. Если пример технически сложный, то она может оказаться трудной в реализации, но сама по себе она ясна. Поэтому здесь меня интересует, на каких именно моментах при нахождении этих интегралов Вы "споткнулись". Какой именно информации не хватало? Вопрос "отточенности" техники вычислений, которая достигается практикой, находится немного в стороне.

(9 Май '17 20:53) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,265

задан
8 Май '17 23:50

показан
429 раз

обновлен
9 Май '17 20:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru