Вывести в аксиоматике Пеано формулу $$ \forall x\forall y\forall z((x < y \wedge z \neq 0) \to x\ast z < y\ast z) $$ Под $%x < y$% понимается сокращенная запись формулы $$ \exists t(t \neq 0 \wedge x+t = y)) $$

задан 9 Май '17 3:27

изменен 9 Май '17 3:36

falcao's gravatar image


242k13448

@dmin: я внёс несколько исправлений. Правда, в самом конце не убрал лишнюю скобку.

(9 Май '17 3:37) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Серия упражнений этого типа есть в Мендельсоне: стр. 124, Предложение 3.7 (a-z). Пункт (b) там подробно разобран (транзитивность отношения $%<$%).

Здесь достаточно вывести бескванторную формулу, трижды применяя в конце правило обобщения (Gen). Посылку импликации принимаем как гипотезу, чтобы в конце применить теорему дедукции. Из тавтологий исчисления высказываний выводим формулы $%x < y$% и $%\neg(z=0)$%. К неравенству $%x < y$% в "развёрнутом" его виде применяем Правило C, где новую предметную константу для удобства оставляем в том же виде, получая $%\neg(t=0)$% и $%x+t=y$%. Далее используем Предложение 3.2(k), выводя по modus ponens следствие $%(x+t)\cdot z=y\cdot z$%. Применяя дистрибутивный закон 3.4(b) и транзитивность равенства 3.2(c), имеем $%x\cdot z+t\cdot z=y\cdot z$%. Далее со ссылкой на 3.5(e) с использованием тавтологий исчисления высказываний, выводим $%\neg(t\cdot z=0)$%. Теперь ссылаемся на Правило E4 (глава 2, параграф 6): нами построен терм $%s$%, для которого $%\neg(s=0)$% и $%x\cdot z+s=y\cdot z$%, откуда выводим $%x\cdot z < y\cdot z$%.

ссылка

отвечен 9 Май '17 4:43

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,419
×807
×54

задан
9 Май '17 3:27

показан
547 раз

обновлен
9 Май '17 4:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru