Пусть точки $%X_1, ..., X_4$% независимы и равномерно распределены в выпуклой плоской фигуре площади 1. Доказать, что вероятность того, что выпуклая оболочка этих точек есть треугольник, равна $%4ES_{X_1X_2X_3}$%, где S - площадь.

задан 9 Май '17 17:30

10|600 символов нужно символов осталось
1

Если выпуклая оболочка является треугольником, то одна точка попадает в треугольник, образованный тремя другими. Поскольку распределение равномерное, вероятность того, что три точки лежат на одной прямой, равна нулю. Поэтому такая точка -- ровно одна из четырёх.

Если положение точек X1, X2, X3 фиксировать, то вероятность попадания X4 в треугольник равно отношению площади треугольника X1X2X3 к площади фигуры, равной 1. Существенно то, что фигура выпуклая, поэтому треугольник целиком в ней содержится. Из этого можно сделать вывод, что вероятность попадания точки X4 в треугольник, образованный тремя другими, равна среднему значению площади треугольника. Далее надо умножить на 4, так как мы складываем четыре одинаковых вероятности.

Формальное обоснование можно предложить такое: введём случайную величину Y4, равную 1, если X4 попала в треугольник X1X2X3, и равную 0 в противном случае. Тогда вероятность того, что Y4 равна 1, совпадает с матожиданием Y4, а последнее равно средней площади треугольника.

ссылка

отвечен 9 Май '17 20:06

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,950
×87

задан
9 Май '17 17:30

показан
619 раз

обновлен
9 Май '17 20:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru