Доказать, что функция $%\rho: R^2\rightarrow R, $% заданная равенством $%\rho (x,y)=|e^x-e^y|,$% является метрикой на $%R$%.

Невырожденность: $%|e^x-e^y|=0,$% при $%x=y$%

Симметричность: $%|e^x-e^y|\neq|e^y-e^x|$% - что я делаю не так?

помогите пожалуйста с неравенством треугольника, не могу разобраться

задан 10 Май '17 20:48

изменен 10 Май '17 22:11

@Koval: это упражнение совсем "пустяковое" -- достаточно знать самые простые свойства модуля. Например, то, что |a-b|=|b-a|. У Вас почему-то написан знак "не равно". Неравенство треугольника имеет вид |a-c|<=|a-b|+|b-c|, и оно верно для любых чисел. Как частный случай, применяем его для чисел a=e^x, b=e^y, c=e^z. Вообще, здесь подошла бы любая функция f(x) вместо e^x: в любом случае получилась бы метрика, по причинам совершенно очевидным.

(10 Май '17 23:11) falcao
1

Нет, не любая функция,например, синус бы не подошел, нужна инъекция!

(10 Май '17 23:14) Амфибрахий

@Амфибрахий: да, конечно. Надо было сделать соответствующую оговорку.

(10 Май '17 23:58) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Симметричность следует из свойств модуля, ибо $%|e^x - e^y| = |e^y - e^x|$%.

Неравенство треугольника выходит из неравенства треугольника для модуля, ибо $$ \rho(x,z) = |e^x - e^z| = |e^x - e^y + e^y - e^z| \leq |e^x - e^y| + |e^y - e^z| = \rho(x,y) + \rho(y,z) $$

ссылка

отвечен 10 Май '17 22:27

10|600 символов нужно символов осталось
0

Просто проверьте аксиомы метрики: невырожденность, симметричность и неравенство треугольника.

ссылка

отвечен 10 Май '17 21:23

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,862

задан
10 Май '17 20:48

показан
585 раз

обновлен
10 Май '17 23:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru