|
Помогите, пожалуйста, вычислить сумму $$\sum_{k=2}^{ \infty } (-1) ^{k} \frac{lnk}{k} $$ задан 10 Май '17 22:32 
Serg |
|
По индукции можно проверить, что $$ \sum\limits_{n = 1}^{2k}\frac{(-1)^n \ln n}{n} = \ln2 \sum\limits_{n = 1}^{k} \frac{1}{n} - \sum\limits_{n = k+1}^{2k}\frac{\ln n}{n} $$ Знаем, что $$ \sum\limits_{n = 1}^{k} \frac{1}{n} = \ln n + \gamma + o(1), $$ а так же $$ \sum\limits_{n = k+1}^{2k}\frac{\ln n}{n} = \frac{\ln^2 2}{2} + \ln 2 \ln (n+1) + o(1) $$. Значит сумма будет $%\gamma \ln 2 - \frac{\ln^2 2}{2}$%. отвечен 10 Май '17 22:49 
no_exception |
|
Странно, что в решении пределы суммирования зависят от $k$, а правые части сумм - от $n$. отвечен 10 Май '17 22:54 
Амфибрахий Спасибо большое! А как вычисляется сумма $$\sum_{n=k+1}^{2k} \frac{lnn}{n} $$
(10 Май '17 23:05)
Serg
|