даны радиусы-векторы $%r_1,r_2, r_3$% точек $%M_1, M_2, M_3$% не лежащих в одной плоскости с началом О радиусов-векторов. Найти радиус-вектор r центра сферы, проходящего через точки $%O,M_1, M_2, M_3$%

у меня никак не получается прийти к ответу как в учебнике

$%r=\frac{(r_1,r_1[r_2,r_3]+(r_2,r_2)[r_3,r_1]+(r_3,r_3)[r_1,r_2]}{2(r_1,r_2,r_3)}$%

я пробовал составить систему как советовали

$%\begin{cases}rr_1=\frac{r_1^2}{2}\\rr_2=\frac{r_2^2}{2}\\rr_3=\frac{r_3^2}{2}\end{cases} $%

задан 11 Май '17 10:02

изменен 11 Май '17 17:46

@Koval: надо взять ответ, и сделать для него проверку. Достаточно очевидно то, что такой вектор удовлетворяет системе. Например, если скалярно домножить r из ответа на r1, то второе и третье слагаемое можно не учитывать. А скалярное произведение [r2,r3] на r1 даст смешанное произведение. Такое рассуждение будет математически корректно, так как центр описанной сферы всего один.

(11 Май '17 18:46) falcao

@falcao мне нужно сделать не беря ответ, а прийти к нему, не могли бы вы пожалуйста помочь разобраться как это делать

(11 Май '17 19:18) Koval

@Koval: проверка ответа -- вполне строгое математическое решение. "Приход" к нему -- вещь в любом случае искусственная, то есть это всё равно "подгонка".

(11 Май '17 19:51) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Речь идет о центре сферы, описанной вокруг тетраэдра с вершинами в начале координат и трех концах заданных векторов. Искомый центр является точкой пересечения трех плоскостей-срединных перпендикуляров к ребрам этого тетраэдра, выходящим из О. Эти плоскости задаются уравнениями $r*r_i=((r_i)^2)/2$. Осталось расписать решение такой линейной системы через векторные операции, что нетрудно сделать,используя метод Крамера и операции различных произведений векторов.

ссылка

отвечен 11 Май '17 10:46

10|600 символов нужно символов осталось
1

Система уравнений $%r_k\cdot r = \frac{r_k}{2}$% в матричной записи имеет вид $%Ar=B$%, где $$ r=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \quad A=\begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}\text{ - строки матрицы - данные векторы}, \quad B=\begin{pmatrix} \frac{r_1}{2} \\ \frac{r_2}{2} \\ \frac{r_3}{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} $$ Находя решение системы при помощи обратной матрицы (выписанной при помощи алгебраических дополнений), получаем, что $$ x = \frac{aA_{11}+bA_{21}+cA_{31}}{\det A}, \quad y = \frac{aA_{12}+bA_{22}+cA_{32}}{\det A}, \quad z = \frac{aA_{13}+bA_{23}+cA_{33}}{\det A} $$ откуда $$ r=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}= x = \frac{a}{\det A} \begin{pmatrix} A_{11}\\ A_{12}\\ A_{13} \end{pmatrix} + \frac{b}{\det A} \begin{pmatrix}A_{21}\\ A_{22}\\ A_{23}\end{pmatrix} + \frac{c}{\det A} \begin{pmatrix}A_{31}\\ A_{32}\\ A_{33} \end{pmatrix} $$ Осталось вспомнить, что алгебраические дополнения - это векторные произведения соответствующих векторов (только про правильный порядок множителей не надо забывать)... а определитель матрицы коэффициентов - это смешанное произведение...

ссылка

отвечен 11 Май '17 21:46

изменен 11 Май '17 21:47

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,860

задан
11 Май '17 10:02

показан
512 раз

обновлен
11 Май '17 21:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru