Сходится ли на $%\mathbb R^2$% последовательность $$f_n(x, y) = cos^n(x + y)$$ а) почти всюду; б) по мере Лебега?

задан 11 Май '17 16:52

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%q=\cos(x+y)$%. При $%|q| < 1$% последовательность $%q^n$% стремится к нулю. Это условие выполнено всюду кроме случаев $%x+y=\pi k$%, где $%k$% целое. Счётное множество прямых имеет плоскую лебегову меру 0, поэтому последовательность $%f_n(x,y)$% почти всюду сходится к нулю. (При чётных $%k$% имеет место сходимость к 1, но это не важно.)

Сходимости по мере здесь нет. Действительно, рассмотрим число $%\delta=\frac12$%. Точки параллельных прямых, о которых шла речь выше учитывать не будем. Тогда условие $%|f_n(x,y)|\ge\delta$% означает, что $%|\cos(x+y)|\ge2^{-1/n}$%. Оно выполняется при $%|x+y|\in(c_1,c_2)$% для некоторых констант $%c_1 < c_2$%, зависящих от $%n$%, то есть на множестве открытых полос между параллельными прямыми. Какими бы узкими ни были эти полосы, мера уже одной такой полосы бесконечна. Поэтому последовательность значений таких мер будет не определена, то есть для неё не выполнено условие стремления к нулю при $%n\to\infty$%.

ссылка

отвечен 11 Май '17 17:16

10|600 символов нужно символов осталось
0

Эта последовательность не сходится только там, где косинус равен -1, то есть она не сходится на счетном наборе параллельных прямых.

ссылка

отвечен 11 Май '17 17:12

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,679
×1,891

задан
11 Май '17 16:52

показан
426 раз

обновлен
11 Май '17 17:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru