Логарифмическое неравенство с обратной тригонометрической функцией

$$\frac{|\log_{1/3}x-1|-1}{\arcsin(3x-1)}\le0$$

Преобразуем к виду $$\frac{|\log_3x+1|-1}{\arcsin(3x-1)}\le0.$$

Арксинус положителен при $%3x-1\in(0;1]$%, то есть при $%x\in(\frac13;\frac23]$%. В числителе должно быть $%|\log_3x+1|\le1$%, то есть $%\log_3x+1\in[-1;1]$%; $%\log_3x\in[-2;0]$%; $%x\in[\frac19;1]$%. Для всех $%x$% в пределах этого случая это условие выполнено.

Арксинус отрицателен при $%3x-1\in[-1;0)$%, то есть при $%x\in(0;\frac13)$% (случай $%x=0$% мы убрали, так как $%x$% стоит под знаком логарифма). В числителе теперь будет $%|\log_3x+1|\ge1$%, то есть $%\log_3x\le-2$% или $%\log_3x\ge0$%. Второе неравенство здесь не может быть выполнено, а для первого случая получается $%x\in(0;\frac19]$%.

Итого $%x\in(0;\frac19]\cup(\frac13;\frac23]$%.