Есть кривая $%C\subset \mathbb{P}^2(\mathbb{C})$% заданная как $%F(x,y,z)=0$%, где $$F(x,y,z)=y^2z-x(x-z)(x-\lambda z )$$

Рассмотрим множество $%M$% точек $%P\in C$% со следующим свойством: касательная к $%C$% в точке $%P$% проходит через точку $%[0:1:0]$%. Доказать, что множество $%M$% образует группу, изоморфную $%\mathbb{Z}_2^2$%

Если написать уравнение касательной к $%C$% в точке $%P=[x_0:y_0:z_0]$% и подставить $%(x,y,z)=(0,1,0)$%, то вроде бы получается $$3x_0^3-3(\lambda+1)x_0^2z_0+3\lambda x_0z_0^2-3y_0^2z_0+2y_0z_0=0,$$ но как дальше искать точки, непонятно.

задан 11 Май '17 21:00

10|600 символов нужно символов осталось
2

Если вспомнить, что точка касания лежит на кубике и прибавить к полученному вами уравнению утроенное уравнение кубики, то получится уравнение 2y0z0=0, откуда либо y0=0, либо z0=0. Далее можно подставить эти условия в уравнение кубики и получить описание изучаемого множества точек касания.

ссылка

отвечен 11 Май '17 22:26

изменен 11 Май '17 22:31

Действительно получается 4 точки: [0:1:0], [0:0:1], [1:0:1], [lambda:0:1]. Но почему они образуют группу? Относительно какой операции?

(11 Май '17 22:37) cherepaha

Вы же, наверное, знакомы с теорией эллиптических кривых и умеете складывать точки на таких кривых? Попробуйте посмотреть на данную ситуацию по аналогии с теорией эллиптических кривых.

(11 Май '17 22:56) Амфибрахий

Я пробовал, но что-то все равно не понятно. Вот возьмем за "базовую" точку (нейтральный элемент группы соотв. кривой) [0:1:0]. Чтобы сложить, например, [0:0:1] и [1:0:1], надо a) найти новую точку на пересечении кривой С и прямой, проходящей через эти 2 точки (в данном случае [0:0:1] и [1:0:1] лежат на прямой y=0, и искомая точка [L:0:1]), б) найти новую точку на пересечении кривой C и прямой, определяемой найденной точкой (т.е. [L:0:1]) и базовой точкой [0:1:0]. Но непонятно, как последнее действие сделать, непонятно даже, на какой прямой лежат две последние упомянутые точки.

(11 Май '17 23:15) cherepaha

Попробуйте составить таблицу Кэли группы, складывая ее элементы как раз описанным вами способом. Такая таблица все разъяснит.

(11 Май '17 23:24) Амфибрахий
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,600

задан
11 Май '17 21:00

показан
371 раз

обновлен
12 Май '17 1:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru