В прямоугольном треугольнике ABC(прямой С) P=60, высота к стороне AB=12, найти стороны.

задан 11 Май '17 22:20

10|600 символов нужно символов осталось
1

Можно решить при помощи тригонометрии. Вычисления там несложные. Пусть $%\alpha$% -- угол при вершине $%A$%. Если $%CH=12$% -- высота, то $%AC=\frac{12}{\sin\alpha}$%, $%BC=\frac{12}{\cos\alpha}$%, $%AH=12\cot\alpha$%, $%HB=12\tan\alpha$%. Отсюда периметр равен $%60=12(\frac1{\sin\alpha}+\frac1{\cos\alpha}+\cot\alpha+\tan\alpha)$%, то есть $%5\sin\alpha\cos\alpha-1=\sin\alpha+\cos\alpha$%. Полагая $%z=\sin\alpha\cos\alpha$% и возводя в квадрат, имеем $%(5z-1)^2=2z+1$%, откуда $%z=\frac{12}{25}$%. Тогда сумма синуса и косинуса равна $%\frac75$%. Из соображений теоремы Виета получаем, что синус и косинус в каком-то порядке принимают значения $%\frac35$% и $%\frac45$%. Тогда катеты равны $%15$% и $%20$%, а гипотенуза $%25$%. Все условия при этом выполнены.

ссылка

отвечен 11 Май '17 23:09

10|600 символов нужно символов осталось
0

Если a , b - катеты и c - гипотенуза, то a+b+c=60, a^2+b^2=c^2 , 12c=ab , откуда все находится.

ссылка

отвечен 11 Май '17 22:30

Получается довольно сложная система уравнений, я и сам на неё вышел, может существует альтернативный способ решения ?

(11 Май '17 22:41) Даниил234
1

@Даниил234, На самом деле она не сложная...

Если рассмотреть первое и третье уравнение относительно $%a$% и $%b$%, где $%c$% - параметр, то получите, что $%a$% и $%b$% являются корнями квадратного уравнения $%z^2 - (60-c)z+12c = 0$%... Для суммы квадратов корней получите, что $%a^2+b^2 = (60-c)(a+b)-24c$%, откуда за счёт второго уравнения получите линейное уравнение для $%c$%...

(11 Май '17 22:58) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,482
×104

задан
11 Май '17 22:20

показан
219 раз

обновлен
11 Май '17 23:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru