Найти все решения x=3 mod 5 x=13 mod 18 x=-12 mod 49.

Попробовала найти решение следующим способом (надеюсь, что решение правильное)...

5, 18 и 49 попарно взаимно простые.

x=51849=4410.

Используем китайскую теорему об остатках.

x1=3, x2=18m, x3=49.

Тогда M1=x/x1=882, M2=x/x2=245, M3=x/x3=90.

Найдем мультипликативные обратные используя алгоритм Евклида:

882*(M1)^(-1)=1 mod 5. Находим (M1)^(-1)=3 mod 5.

245*(M2)^(-1)=1 mod 18, т. е. (M2)^(-1)=5 mod 18

90*(M3)^(-1)=1 mod 49, то (M3)^(-1)=6 mod 49.

Получаем решение:

x0=∑ M(M)^(-1)x=33882+132455-12906=17383

Общее решение имеет вид x=x0+m*x=17383+4410m.

m=1 x=21793

m=2 x=26203

m=3 x=30613

Какие есть еще способы решение таких систем??? Спасибо за помощь)))

задан 12 Май '17 14:06

изменен 12 Май '17 14:08

10|600 символов нужно символов осталось
0

Еще можно "на коленке": $$x=5k+3=18l+13=49m-12.$$ Тогда $$5k+3=18l+13 ; k=\frac{18l}{5}+2 ; l=5n. $$ $$ 90n+13=49m-12 ; m=2n+2-\frac{8(n+3)}{49}.$$ Тогда $$n=49t-3 , t\in Z.$$

ссылка

отвечен 12 Май '17 15:06

10|600 символов нужно символов осталось
0

В ответе желательно указывать остаток от деления. Число 17383 слишком большое, и его можно заменить на 4153. В таком виде ответ будет единственным, согласно самой теореме.

Рассуждать проще всего так: рассматривается система сравнений. Решаем с конца. Из последнего условия x=49y-12, где y целое. Подставляем эту величину во второе сравнение, и сразу упрощаем. 49y=25(18) упрощается до 13y=7(18). Это линейное сравнение, и оно решается или с помощью цепных дробей, если числа большие, или при помощи домножений на коэффициент, взаимно простой с 18, что даёт равносильное условие. Здесь -5y=7(18) домножаем на 5, получаем -25y=35(18) <=> -7y=35(18), сокращаем на -7, откуда y=-5=13(18). Тем самым, y=18z+13, где z целое. Итого имеем x=49(18z+13)-12=882z+625. Осталось подставить в первое сравнение, которое по модулю 5. Делаем это в приведённом виде (числа заменяем остатками): 2z=3(5). Ясно, что z=4(5), то есть z=5k+4 при целом k.

Окончательно получаем x=882(5k+4)+625=4410k+4153.

ссылка

отвечен 12 Май '17 15:19

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×883

задан
12 Май '17 14:06

показан
620 раз

обновлен
12 Май '17 15:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru