Привести пример меры, не обладающей свойством счётной аддитивности, и обосновать

задан 12 Май '17 15:12

@alas: я думаю, нужна более точная постановка задачи. А то возможен какой-то совсем простой пример. Можно взять множество N, и мерой назвать количество элементов множества. Измеримыми будут конечные подмножества. Мера аддитивна, но не счётно аддитивна. Я к тому, что желательны какие-то дополнительные условия -- типа того, что мера вероятностная, или что-то ещё. Можно придумать пример, когда все подмножества измеримы, но мера не счётно аддитивна. Это будет более интересно.

(12 Май '17 15:53) falcao

@falcao, не очень понятен ваш пример. А что считать измеримыми множествами, как конкретно задается мера? По поводу второго примера -- интересно. Каков ответ?

(12 Май '17 16:25) no_exception

@no_exception: если не уточнено, на чём задаётся мера, то можно брать и такой пример, который я назвал -- измеримы множества конечны; мера -- число элементов. Но он неинтересный. Что касается второго примера, то там ещё более сильное свойство можно обеспечить -- инвариантность относительно сдвигов. Меру строим на Z. Идея такая: пусть A -- множество; берём его пересечение с [-n,n] и рассматриваем долю элементов из A на отрезке. Получается ограниченная последовательность, и берём предел по неглавному ультрафильтру.

(12 Май '17 20:46) falcao

@falcao, почему в вашем примере мера не будет счетно аддитивной? Видимо, тут различия в терминологии.

По поводу второго примера--понял. Очень хорошо!

(13 Май '17 13:11) no_exception

@no_exception: если мера инвариантна, то все точки имеют одинаковую меру, а множество Z счётно, откуда из счётной аддитивности следует, что мера любого множества нулевая. Если имелся в виду более примитивный пример (мера = число элементов), то там счётные множества не имеют конечной меры.

(13 Май '17 13:16) falcao

@falcao, мне казалось, что определение счетной аддитивности такое: если $%A$% измеримо и $%A_i$% -- разбиение $%A$%, то $%\mu(A) = \sum \mu (A_i)$%. В вашем же случае проблема не в мере, а в том, что область определения -- не сигма-алгебра. На измеримых множествах мера счетно-аддитивна

(13 Май '17 14:21) no_exception

@no_exception: определение в классическом варианте должно выглядеть так: если A_1, A_2, ... измеримы, то A_1 U A_2 U ... также измеримо, и при дизъюнктном объединении мера равна сумме ряда. Но тут дело в том, что сама задача сформулирована недостаточно чётко: какие-то свойства подразумеваются, но не говорятся явно. Так или иначе, сам пример (первый) формально подходит, но он неинтересен. Понятно, что такую меру нельзя назвать счётно-аддитивной.

(13 Май '17 14:39) falcao
1

@falcao, не соглашусь про классическое определение. Классически, по понятным причинам, меру продолжают с полукольца (процесс Каратеодори). А полукольцо не гарантирует, что даже конечное объединение множеств ему принадлежит

(13 Май '17 22:54) no_exception

@no_exception: чтобы прояснить этот вопрос, я заглянул в "академический словарь", то есть в Колмогорова - Фомина. Оказалось, что Вы правы насчёт определения сигма-аддитивности. То есть самый первый простенький пример действительно не годится в этом смысле.

(13 Май '17 23:37) falcao
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
2

Возьмем полукольцо всех тех подмножеств рац. чисел отрезка $$[0 ; 1],$$, которые лежат на отрезках в $$[0 ; 1],$$ и мерой каждого такого множества назовем длину минимального содержащего множество отрезка. Это множество счетно, мера каждой рац. точки равна 0, но мера объединения всех рац. точке равна 1.

ссылка

отвечен 12 Май '17 15:25

@Амфибрахий: возможно, я не понял Ваше описание. Почему будет выполняться свойство конечной аддитивности?

(12 Май '17 15:49) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,619
×1,862

задан
12 Май '17 15:12

показан
600 раз

обновлен
13 Май '17 23:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru