Необходимо найти объем тела при вращении вокруг оси $%OY$% фигуры:

$%x=a \sin t$%, $%y=a \sin 2t$%, $%0 \le t \le 2\pi$%.

Снова не сходится с ответом, если решаю через интеграл: $%V=\pi \int_0^{2\pi} a^2 \sin^2(t) \cdot 2a \cos 2t dt$%. При вычислении получается $%-\pi^2a^3$%.

Подскажите, пожалуйста, где ошибка.

задан 13 Май '17 14:26

1

Здесь надо учесть симметрию фигуры. Брать пределы от 0 до 2п явно неправильно, потому что слева и справа от оси Oy будет одно и то же.

При желании, можно выражать x^2 через y на некотором промежутке, рассматривая разность двух интегралов. Это всё надо увидеть по рисунку (хотя бы схематичному).

(13 Май '17 15:05) falcao

@falcao, схематичный рисунок есть перед глазами, но с пределами все равно разобраться не могу...

(13 Май '17 15:16) alena ivanova
1

@alena ivanova: достаточно вращать верхнюю часть, умножая объём на 2. Тогда t меняется от 0 до п/2. Кривую делим на две части. В одном случае y возрастает -- когда t от 0 до п/4. Для второй части y убывает. На обоих участках можно выразить x^2 через y, а затем найти разность двух интегралов, умноженную на п, по отрезку [0,1]. Формулы, выражающие x^2 через y, получаются через тригонометрические тождества.

(13 Май '17 15:28) falcao

@falcao, получилось очень громоздко, если выражать $%x^2$% через $%y$%. А можно ли как-то через формулу для параметрически заданной функции, но на разных промежутках?

(13 Май '17 18:01) alena ivanova
1

@alena ivanova: почему громоздко? Квадрат синуса выражается через косинус удвоенного угла, а cos2t через sin2t.

(13 Май '17 18:15) falcao

@falcao, будет что-то типа такого: $%\pi \int_0^1 ((\frac{a}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{(a^2-y^2)})^2) - ((\frac{a}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{(a^2-y^2)})^2) dy$%?

(13 Май '17 20:25) alena ivanova

@alena ivanova: по таким формулам выражается x^2(y) для двух разных кривых -- верхней и нижней. Одно возведение в квадрат там лишнее. Поэтому будет интеграл от разности, и одинаковые члены сразу сократятся.

(13 Май '17 23:24) falcao

@falcao, что-то с ответом не сходится. Ответ в книге такой: $%\frac{\pi^2 a^3}{2}$%. Еще раз все обдумав, вроде получилось, что после сокращений $%V= \pi \int_{0}^{a} (a^2-y^2) dy$%. Взяв его, поняла, что с ответом не сходится.

(14 Май '17 14:32) alena ivanova

@alena ivanova: выражение a^2-y^2 должно быть под корнем.

Вообще, удобно сначала положить a=1, а потом в конце домножить на a^3 из соображений размерности.

(14 Май '17 14:42) falcao

@falcao, большое спасибо, разобралась!

(14 Май '17 19:28) alena ivanova
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,265

задан
13 Май '17 14:26

показан
313 раз

обновлен
14 Май '17 19:28

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru