Пусть орёл выпадает с вероятностью p. Какое среднее число подбрасываний понадобится, чтобы выпал орёл.

задан 13 Май '17 23:19

10|600 символов нужно символов осталось
1

Эта задача в разных вариантах на форуме уже встречалась (в том числе, в более сложных разновидностях). Ответом будет 1/p. Приведём два способа решения.

1) Пусть матожидание равно S (из общих соображений ясно, что оно существует при p > 0). Рассмотрим первое бросание. С вероятностью p выпадает орёл, и тогда первого орла приходится ждать 1 шаг. С вероятностью 1-p выпадает решка. Это одно бросание, и далее в среднем потребуется ещё S. Отсюда S=p+(1-p)(1+S)=1+(1-p)S, откуда S=1/p.

2) Найдём вероятность того, что орёл впервые появляется на n-м шаге (n>=1). Легко видеть, что это q^{n-1}p, где q=1-p. Тогда матожидание равно сумме ряда p+2qp+3q^2p+...+nq^{n-1}p+...=p(1+2q+3q^2+...). Считая q переменной, рассматриваем ряд 1+q+q^2+...=1/(1-q), который можно почленно дифференцировать на области сходимости. Это даёт 1+2q+q^2+...=1/(1-q)^2=1/p^2, и после умножения на p получается матожидание, равное 1/p.

ссылка

отвечен 13 Май '17 23:57

изменен 12 Июн '17 0:27

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,046

задан
13 Май '17 23:19

показан
494 раза

обновлен
12 Июн '17 0:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru