|
Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, решить следующую задачу: Пусть $%f, g$% - нормализованные многочлены в $%Z[X]$%. Показать, что в выражении $%\gcd(f, g) = fu + gv$% с $%u, v \in Z[X]$%, можно считать, что $%\deg{u}<\deg{g}, \deg{v}<\deg{f} $% задан 14 Май '17 5:57 
aoeu |
|
Наибольший общий делитель может быть представлен в виде $%fu+gv$% многими способами. Задача в том, чтобы выделить среди множества решений какое-то "хорошее" -- в данном случае, с ограничениями на степень. Пусть $%d=fu+gv$%, где $%d$% есть НОД. Мы хотим, чтобы степень $%u$% была меньше степени $%g$%. Для этого разделим $%u$% на $%g$% с остатком. Ввиду нормализованности, частное и остаток будут иметь целые коэффициенты. Мы получим $%u=qg+u_1$%, где $%\deg u_1 < \deg g$%. Равенство перепишется в виде $%d=fu+gv=fqg+fu_1+gv=fu_1+gv_1$%, где $%v_1=fq+v$%. Проследим за степенями. По построению, $%\deg(fu_1) < \deg f+\deg g$%. Эта же оценка верна для степени $%d$%, которая не превосходит $%\min(\deg f,\deg g)$%, что также меньше $%\deg f+\deg g$%. По свойствам степеней, $%\deg(gv_1) < \deg f+\deg g$%. Степень произведения равна сумме степеней, откуда имеем $%\deg v_1 < \deg f$%, что нам и было нужно. отвечен 14 Май '17 12:52 
falcao @falcao Получается, по условию задачи нам сказано что НОД может быть представлен в виде $%fu + gv$% а мы из этого доказываем что существует второе такое разложение $%fu_1 + gv_1$% которое уже удовлетворяет ограничений на степень. Скажите, правильно я понимаю логику доказательства? Это так надо понимать фразу "можно считать" в условии задачи?
(14 Май '17 13:37)
aoeu
@aoeu: u,v,u1,v1 -- это всего лишь обозначения, которые можно менять. Изначально нам были даны какие-то u,v, а потом мы их заменили на u1, v1, которые удовлетворяют ограничениям на степень. Можно их переобозначить, заменив u1 на новое u, и v1 на новое v. Это не имеет никакого значения: равенство с таким же успехом могло быть задано в виде d=fЪ+gЬ :) "Можно считать" на математическом языке означает, что существуют такие u,v, для которых не только d=fu+gv, но ещё и выполнены ограничения на степень. Никакой другой трактовки тут в принципе не может быть.
(14 Май '17 13:57)
falcao
@falcao Я все-таки не до конца понимаю. Т.к. кольцо $%Z[X]$% не Евклидово то мы не можем опираться на то что разложение $%d = fu + gv$% где $%u, v \in Z[X]$% вообще существует. Однако при доказательстве мы опираемся на существование такого разложения. А его существование задано по условию задачи. Другими словами задачу можно было бы переписать так: Докажите, что если существует разложение $%d = fu + gv$%, то найдется разложение $%d = fu_1 + gv_1$% с соответствующими ограничениями на степени. Правильно ли такое понимание?
(14 Май '17 14:20)
aoeu
@aoeu: да, правильно. То, что в условии уже дано, как-либо доказывать не надо. Кольцо Z[X] факториально, и НОД для него определён. Тогда его можно разложить по f и g с рациональными коэффициентами, работая в евклидовом кольце Q[X]. Вообще говоря, целых коэффициентов может при этом не быть, но в условии такое разложение уже дано. Сам факт верен и для Q[X]. Он полезен для применения метода неопределённых коэффициентов: из теории мы знаем, что разложение есть, а потом находим его.
(14 Май '17 14:51)
falcao
|