alt text

Решите пожалуйста,если можно

задан 14 Май '17 16:07

10|600 символов нужно символов осталось
2

Обозначим $$ W =\cos^n z + \cos^n (z+i) + \cos^n (z+3i) , $$ тогда $$ \frac{W}{\cos^n (z+3i)} = \frac{\cos^n z}{\cos^n (z+3i)} + \frac{\cos^n (z+i)}{\cos^n (z+3i)} + 1 = A_1 + A_2 + 1 $$

Поскольку $$ \cos(a+i\beta) = \frac{e^{ai-\beta} + e^{-ai+\beta}}{2} = \frac{e^{-ai+\beta}\cdot\Big(e^{2ai-2\beta} + 1\Big)}{2}, $$ то

$$ A_1 = \frac{\cos^n z}{\cos^n (z+3i)} = \frac{e^{-nai+nb}\cdot\Big(e^{2ai-2b}+ 1\Big)^n}{e^{-nai+n(b+3)}\cdot\Big(e^{2ai-2(b+3)}+ 1\Big)^n} = e^{-3n}\cdot\frac{\Big(e^{2ai-2b}+ 1\Big)^n}{\Big(e^{2ai-2(b+3)}+ 1\Big)^n}
$$ Поскольку $%b > 0$%, то, например, из геометрических соображений, нетрудно получить, что...
1) при $%a \ge 0$% $$ 1 < \Big|e^{2ai-2(b+3)}+ 1\Big| < \Big|e^{2ai-2b}+ 1\Big| \le 2 $$ 2) при $%a < 0$% $$ \Big|e^{2ai-2b}+ 1\Big| < \Big|e^{2ai-2(b+3)}+ 1\Big| $$ Таким образом, $%|A_1| \le e^{-3n}\cdot 2^n \to 0$%...

Аналогично показывается, что $%|A_2| \le e^{-2n}\cdot 2^n \to 0$%...

Используя неравенство треугольника получаем, оценку $$ \left(1 - |A_1+A_2| \right)^{\frac{1}{n}} \le \left| \frac{W}{\cos^n (z+3i)} \right|^{\frac{1}{n}} \le \left(1+ |A_1+A_2| \right)^{\frac{1}{n}} $$ Поскольку $%\frac{|A_1+A_2|}{n}\to 0$%, то из второго замечательного предела следует, что пределы левой и правой части оценки будут равны $%1$%...

Итого, $$ \lim\limits_{n \to\infty } \Big|\cos^n z + \cos^n (z+i) + \cos^n (z+3i)\Big|^{\frac{1}{n}} = \Big|\cos (z+3i)\Big| $$

Вроде так...

ссылка

отвечен 14 Май '17 21:34

@all_exist:ответь sqrt(1/2*(sh2(b+3)+cos2a)

(14 Май '17 22:33) kerim

@nicat: а что Вы спросили? Тут есть только математическое выражение, оно не является вопросом.

(14 Май '17 22:43) falcao

@nicat, ну, если преобразовывать ответ, то ответ типа такого получится... только косинус и шинус в квадрате, а не с удвоенным аргументом... и вроде одной второй там не должно быть...

(14 Май '17 23:04) all_exist

@all_exist: я воспринял фразу как повелительное наклонение, а это, оказывается, имелся в виду "ответ"! :)

(14 Май '17 23:38) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×743

задан
14 Май '17 16:07

показан
460 раз

обновлен
14 Май '17 23:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru