Подскажи, пожалуйста, где можно найти теорему Ремака?

задан 14 Май '17 16:57

Желательно для начала уточнить, о какой формулировке речь. Это про однозначность разложения в прямое произведение, или про что-то другое? Кроме того, там бывают разные обобщения и прочее. Важно ещё знать, для какого класса групп это нужно, и так далее.

(14 Май '17 18:33) falcao

В книге Куроша доказательство слишком сложное, потому что там рассматривается класс групп с операторами. Если нужно изложение попроще, то можно здесь посмотреть.

(14 Май '17 18:40) falcao

Мне нужно для нормальных подгрупп конечного p-индекса

(14 Май '17 19:13) vk2017

Тогда я не понимаю, о каком утверждении речь. Надо его полностью сформулировать. В принципе, бывают совсем разные утверждения, называемые именем одного и того же автора. В некоторых случаях имеют в виду нечто "самое известное", но здесь это, судя по всему, не так.

(14 Май '17 19:27) falcao

вот у меня упоминается это теорема здесь: (По теореме Ремака фактор-группа G/N изоморфна подгруппе прямого произведения P = G/N1× G/N2ו••× G/Nk.)

(14 Май '17 19:38) vk2017

@vk2017: судя по контексту, здесь имеется в виду совсем элементарное утверждение. Если Вы опишете, что есть G, и что представляют собой N_1, ... , N_k, то я думаю, что легко смогу дать прямое доказательство.

(14 Май '17 20:19) falcao

у меня есть лемма, она с доказательством:"Пересечение конечного семейства нормальных подгрупп конечного p-индекса некоторой группы G является нормальной подгруппой конечного p-индекса этой группы. Пусть N1, N2, ... , Nk— нормальные подгруппы конечного p-индекса группы G и N=⋂_(i=1)^k▒N_i . По теореме Ремака фактор-группа G/N изоморфна подгруппе прямого произведения P = G/N1× G/N2ו••× G/Nk." просто здесь упоминается теорема Ремака, а я ее найти не могу

(14 Май '17 20:28) vk2017
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
0

Здесь речь идёт о совсем элементарном факте. Видимо, в каком-то систематическом изложении он выделялся в качестве отдельного утверждения. Но можно всё получить сразу, не опираясь на промежуточные результаты.

У нас есть нормальные подгруппы $%N_1$%, ... , $%N_k$% конечного $%p$%-индекса. Рассмотрим факторгруппы по ним. Это конечные $%p$%-группы вида $%G/N_i$%. Для каждой из них мы имеем естественный гомоморфизм $%f_i\colon G\to G/N_i$%.

Теперь стандартным образом строим по нескольким гомоморфизмам один гомоморфизм $%f$% в прямое произведение факторгрупп, полагая $%f(g)=(f_1(g),...,f_k(g))$% для любого $%g$% из $%G$%. Это даёт гомоморфизм $%f\colon G\to(G/N_1)\times\ldots\times(G/N_k)$%. Сам этот приём всецело напрашивается, и он не требует никаких дополнительных проверок.

Что является ядром для $%f$%? Элемент $%g$% принадлежит $%{\rm Ker\,}f$% тогда и только тогда, когда вектор $%f(g)$% состоит из единичных элементов. А это равносильно тому, что $%g$% принадлежит ядру каждого из $%f_i$%, то есть $%N_i$%. Значит, ядром $%f$% будет в точности пересечение $%N$% нормальных подгрупп $%N_1$%, ... , $%N_k$%.

Осталось применить теорему о гомоморфизмах. Она даёт, что $%G/{\rm Ker\,}f=G/N$% изоморфна образу $%f$%. Образ же является подгруппой прямого произведения конечных $%p$%-групп, то есть их порядки -- степени числа $%p$%. Значит, порядок произведения, равный произведению порядков -- также степень $%p$%. Подгруппа прямого произведения оказывается $%p$%-группой, так как её порядок делит некоторую степень числа $%p$% по теореме Лагранжа. Тогда, ввиду простоты $%p$%, он сам является степенью $%p$%. Значит, $%G/N$% есть конечная $%p$%-группа, а это и значит, что $%N$% есть нормальная подгруппа в $%G$% конечного $%p$%-индекса.

ссылка

отвечен 14 Май '17 21:16

большое спасибо!

(14 Май '17 21:23) vk2017
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,018

задан
14 Май '17 16:57

показан
524 раза

обновлен
14 Май '17 21:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru