Помогите пожалуйста найти область сходимости. 8 и 9 номера. Как тут практичнее сделать? По признаку Даламбера, Коши, или по следствию из них, где например отношение n-го коэффициента перед x к (n+1)-му? https://pp.userapi.com/c637227/v637227991/519f4/J9XbFSEgTTA.jpg

задан 14 Май '17 17:03

10|600 символов нужно символов осталось
1

Понятие радиуса сходимости имеет смысл для степенных рядов -- когда имеется сумма вида $%a_nx^n$%. Здесь ряды не степенные, а функциональные. Для них можно говорить про область сходимости, то есть надо выяснять, при каких $%x$% они сходятся. Формула для радиуса сходимости к рядам такого типа неприменима.

8) Если $%x > 0$%, то очевидно, что ряд сходится, так как модуль его общего члена мажорируется членом сходящейся геометрической прогрессии: $%|u_n|\le q^n$%, где $%q=e^{-x} < 1$%. Модуль косинуса в этом случае оцениваем сверху единицей.

При $%x=0$% получается ряд из единиц. Он расходится.

Случай $%x < 0$% более сложный. Чтобы его проанализировать, положим $%t=-x > 0$%. Тогда член ряда имеет вид $%e^{nt}\cos nt$%. Здесь на "качественном" уровне понятно, что экспонента стремится к бесконечности, причём очень быстро, а косинус как-то "колеблется". При этом он может обращаться в ноль или быть близким к нулю. Эти эффекты надо проанализировать.

Прежде всего, ясно, что если бы вместо косинуса был синус, то при $%t=2\pi k$%, где $%k$% целое положительное, ряд имел бы нулевые члены, то есть сходился. Но для косинуса так не будет, и надо показать, что здесь ни в каких случаях сходимости нет. Тут придётся пользоваться какими-то вспомогательными фактами.

Рассмотрим случай, когда $%t$% и $%\pi$% несоизмеримы, то есть отношение $%t/\pi$% иррационально. В этом случае следует считать известным, что множество точек вида $%nt$% всюду плотно на окружности. Тогда среди них есть бесконечно много таких, где косинус больше 1/2. Тогда соответствующие члены ряда будут больше положительной константы $%e^t/2$%. Общий член при этом не стремится к нулю, и ряд расходится.

Пусть $%t=\frac{\pi k}m$%, где $%k$% и $%m$% натуральные. Числа, кратные $%t$%, на единичной окружности расположены периодически, и делят её на несколько частей. Среди этих точек точно есть $%1$% (когда угол нулевой, и косинус равен 1). Соответствующих членов (где $%n$% кратно $%2m$%) бесконечно много, и подпоследовательность при этом не стремится к нулю, то есть ряд расходится.

9) Здесь всё уже, фактически, проанализировано: при $%x > 0$% достаточно признака Даламбера, при $%x=0$% всё очевидно, при $%x < 0$% нет стремления общего члена к нулю.

ссылка

отвечен 14 Май '17 19:25

1

Можно еще так: если $%\sin x \ne 0,$% то $%\cos nx $% не стремится к 0. Иначе $%\cos (n+1)x=\cos x \cos nx-\sin x\sin nx \to o,$% и тогда $%\sin nx \to o,$% что противоречит основному триг. тождеству.

(14 Май '17 20:04) Амфибрахий

@falcao "...то очевидно, что ряд сходится, так как модуль его общего члена мажорируется членом сходящейся геометрической прогрессии..." --- это по признаку Вейерштрасса?

(14 Май '17 21:11) Стас001

@Амфибрахий: да, такой приём быстрее ведёт к цели. Помнится, на форуме он несколько раз использовался в разных видах. Но я стал рассуждать наиболее "кондово".

@Стас001: я использую обычный признак сравнения для знакоположительных рядов, а также сходимость бесконечной геометрической прогрессии. Как правило, признак Вейерштрасса упоминают тогда, когда доказывают равномерную сходимость, мажорируя функциональный ряд сходящимся рядом, член которого не зависит от x. Здесь достаточно совсем простых средств, и можно лишний раз не упоминать классика.

(14 Май '17 21:23) falcao

@falcao То есть решение неравенства abs(cos(x))<=1 и будет областью сходимости при x>0?

(14 Май '17 21:33) Стас001

Обычный признак сравнения весьма похож на признак Вейерштрасса, как мне кажется.

(14 Май '17 21:36) Стас001
1

@Стас001: неравенство |cos x|<=1 верно всегда. Его решением будет являться произвольное действительное число. Оно (число) в принципе не может быть областью сходимости. Поэтому фраза неграмотно сформулирована (я на всякий случай на это указываю, чтобы Вы на экзамене такого ненароком не изрекли :))

Давайте мыслить проще. Ряд сходится при x > 0, а при прочих значениях расходится. Областью сходимости называется множество всех таких x, для которых функциональный ряд сходится. Это будет открытый луч (0;+\infty). Его и надо указать.

(14 Май '17 21:38) falcao

@falcao Аааааа, дошло, как же просто. Особенно глупость я сморозил про неравенство))) Спасибо!

(14 Май '17 22:04) Стас001

@falcao Если можно, еще вот такой вопрос возник. Признак Даламбера, признак Коши, интегральный признак Коши, первый признак сравнения и необходимый признак сравнения ------ они все применяются только к числовым или только к функциональным рядам, или есть признаки пригодные для всех типов рядов?

(9 Июн '17 19:09) Стас001

@Стас001: мне кажется, Вы пытаетесь мыслить в неправильных терминах. Прежде всего, перечисленные признаки применимы к знакопостоянным рядам -- в этом их особенность. Именно на неё надо обратить внимание. Далее, любой функциональный ряд f_n(x) при каждом конкретном x является числовым. Следовательно, при условии f_n(x)>=0 (для фиксированного x и для всех n>=n_0) перечисленные признаки применять можно. Препятствие может быть в отсутствии знакопостоянства, а не в функциональности.

(9 Июн '17 19:42) falcao

@falcao Спасибо, вспомнил! Лекции чуть запутали...

(10 Июн '17 0:39) Стас001
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
0

При $%x<0$% для 9) все просто - не выполняется необх. усл. сходимости. При $%x=0$% 9) сх., а 8) - расх. При $%x>0$% оба ряда сх. абсолютно по признаку Даламбера. А вот 8) при $%x<0$% выглядит мерзко...

ссылка

отвечен 14 Май '17 17:21

@Амфибрахий Это понятно, но как это все связать с радиусом сходимости? Он у нас должен быть по модулю меньше 1, чтобы мы могли найти область сходимости, а тут еще и x различные рассматривать...

(14 Май '17 18:21) Стас001

Радиус сходимости бывает у степенного ряда, а эти ряды - не степенные.

(14 Май '17 18:53) Амфибрахий

@Амфибрахий Спасибо.

(14 Май '17 22:07) Стас001
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×429

задан
14 Май '17 17:03

показан
933 раза

обновлен
10 Июн '17 0:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru