Здравствуйте! Снова прошу Вас помочь мне. Не справляюсь с уравнением в целых числах.

Решите уравнение в целых числах

$$\sqrt{9x^{2}+160x-800}=3x-y.$$

задан 14 Май '17 19:01

10|600 символов нужно символов осталось
2

Решений в целых числах здесь будет 12.

Ясно, что квадратный корень принимает целые значения, поэтому достаточно разобрать случай, когда подкоренное выражение является квадратом целого неотрицательного числа: $%9x^2+160x-800=n^2$%. Отсюда однозначно выражается $%y=3x-n$%.

Домножая на 9 обе части уравнения и выделяя полный квадрат, имеем $%(9x+80)^2-(3n)^2=13600$%. Оба слагаемых в левой части имеют одинаковую чётность, откуда $%\frac{9x+80+3n}2\cdot\frac{9x+80-3n}2=3400$%.

Число $%3400=2^3\cdot5^2\cdot17^1$% имеет 24 натуральных делителя, и 48 целых делителей. Положим $%d_1=\frac{9x+80+3n}2$%, $%d_2=\frac{9x+80-3n}2$%, где $%d_1 > d_2$% ввиду $%n > 0$% (случай $%n=0$% невозможен). Чтобы $%x$% и $%n$% были целыми, должны выполняться условия $%d_1-d_2$% делится на $%3$% и $%d_1+d_2+1$% делится на 9. Первое условие выполнено всегда, а для второго нужно, чтобы $%d(d+1)$% было сравнимо с 2 по модулю 9, где $%d$% -- делитель. Тогда $%d$% сравнимо с 1 по модулю 3. Остальные делители можно не рассматривать.

Из первой половины списка положительных делителей числа 3400, то есть из 1,2,4,5,8,10,17,20,25,34,40,50, мы берём в качестве $%d_2$% значения 1,4,10,25,34,40, если оба делителя положительны, а для случая отрицательных делителей в качестве $%d_1$% берём значения -2,-5,-8,-17,-20,-50. Это даёт 12 решений уравнения в целых числах. Вот их полный список (относительно $%x$%, $%y$%):

[-22, -72], [-198, -1160], [86, -24], [5, 0], [-85, -480], [369, -26], [-57, -310], [-33, -160], [6, -4], [9, -10], [30, -20], [-30, -140].

ссылка

отвечен 14 Май '17 20:26

@falcao. Благодарю! Слишком профессиональное для моего уровня решение. Буду внимательно его разбирать.

(14 Май '17 22:11) Don_Eduardo
1

@Don_Eduardo: тут общая логика решения очень простая. Чаще всего x и y как-то связаны. Здесь же y выражается, поэтому важно лишь то, чтобы оно было целым. А это зависит от подкоренного выражения. В конечном счёте получается задача о представлении числа в виде разности квадратов, что зависит от делителей этого числа.

Всё остальное тут -- дело техники. У числа 13600 делителей слишком много, и имеет смысл его уменьшить. Дальше уже идёт перебор, который можно сделать покороче. Я написал в подробностях, потому что самому было интересно увидеть полный список решений.

(14 Май '17 22:34) falcao
3

@falcao: Нашёл Ваше решение по ключу "800". Переметил.

math.hashcode.ru/questions/92645/

(14 Май '17 22:57) EdwardTurJ

@EdwardTurJ: удивительно! Я об этой задаче забыл напрочь, воспринял её как совершенно новую, и решал другим способом. Бывает так, что какие-то числа мне что-то напоминают. Но тут ни 160, ни 800 никак не "смагнитили".

(14 Май '17 23:01) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
3

$%9x^2+160x−800=(3x−y)^2; 160x−800=y^2-6xy; 18x=\frac{9y^2+7200}{3y+80}=3y-80+\frac{13600}{3y+80}.$% Осталось перебрать целые делители числителя последней дроби и учесть условие $%3x−y\geq0.$%

ссылка

отвечен 14 Май '17 19:45

изменен 14 Май '17 19:49

@Амфибрахий. Спасибо! Надо взять на вооружение правило: если числитель содержит переменную во второй степени, но не содержит в первой, то всегда можно превратить его в сумму какого-то числа и произведения знаменателя с сопряженным знаменателем. Чтобы при делении обязательно осталась дробь с "чисто числовым числителем", которую можно исследовать.

(14 Май '17 22:07) Don_Eduardo

тут просто поделили столбиком многочлен $%a_2y^2+a_1y+a_0$% на линейный многочлен $%b_1y+b_0$%. Получается частное $%3y-80$% и остаток 136000. Остаток всегда будет "чисто числовой" независимо от многочлена в числителе ибо знаменатель линейный.

(14 Май '17 22:18) abc
1

@abc, Вы правы безусловно. Но если сразу поделить $$x=\frac{y^{2}+800}{6y+160},$$ то ничего хорошего из этого не выйдет. Были проведены подготовительные мероприятия как раз для того, чтобы частное состояло из целых чисел и мы бы не задавали ему никаких вопросов, а изучали только дробь.

(14 Май '17 22:34) Don_Eduardo

@Don_Eduardo да я не подумал что частное может оказаться многочленом с дробными коэффициентами. Но есть же какой-нибудь общий метод решения уравнений вида $%x=\frac{P(y)}{A}+\frac{B}{Cy+D}$% где $%P(y)\in \mathbb{Z}[y]; A,B,C,D \in \mathbb{Z}$% или нет?

(14 Май '17 22:54) abc

@abc, признаться честно, я так глубоко не обдумывал решение этой задачи. Извините, но я не могу пока ответить на Ваш вопрос.

(14 Май '17 23:02) Don_Eduardo

@abc: то уравнение от х, которое Вы воспроизвели -- обычное алгебраическое. Если всё записать как один многочлен, получится задача о целых корнях. Но в оригинале есть x и y, и там речь о делимости. В принципе, там всегда можно свести это дело к делимости константы на знаменатель.

(14 Май '17 23:04) falcao

@falcao пардон перепутал x и y исправил. Я как раз хочу понять как это свести к делимости константы на знаменатель? к примеру $%Ax=P(y)+\frac{BA}{Cy+D}$% и что дальше? Теперь правую часть нужно исследовать не просто на целочисленность а еще и на делимость на A

(14 Май '17 23:06) abc

@abc: если Ax и P(y) целые, то Cy+D делит BA. Это даёт конечное число вариантов. Для каждого загаданного нами делителя BA, подходит не более одного y. Тогда берём это y и смотрим, делится ли правая часть на A. В чисто теоретическом плане тут нет ничего сложного.

(14 Май '17 23:37) falcao

@falcao А ну действительно все решается в лоб. Я почему-то думал что подходящих игреков возможно бесконечное множество

(14 Май '17 23:43) abc
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×195

задан
14 Май '17 19:01

показан
813 раз

обновлен
14 Май '17 23:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru