При каких значениях $%p$% уравнение $%(x-p)^2(p(x-p)^2-p-1)=-1$% имеет положительных корней больше, чем отрицательных.

задан 18 Янв '13 0:03

изменен 18 Янв '13 11:29

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
3

Решать само уравнение тут не обязательно. Достаточно заметить, что переменная $%x$% присутствует в уравнении только в виде $%(x-p)^2$%, значит в итоге все корни уравнения будут записываться в виде $%x=p\pm\Delta$%, т.е. корней уравнения $%x_i\gt p$% будет столько же, сколько и $%x_i\lt p$%. Значит, $%p\le0$% нам явно не подходит, а при $%p\gt0$% положительных корней не меньше, чем отрицательных. Осталось только исключить те значения $%p$%, при которых количество положительных и отрицальных корней равное.

ссылка

отвечен 19 Янв '13 1:05

10|600 символов нужно символов осталось
2

Исследуйте сначала $%p=0$%. Затем замените $%(x-p)^2=t$% и решите биквадратное уравнение, которое будет иметь (в данном случае) минимум 2 корня: $%p+1, p-1$% (исследуйте их знак) или 4 корня

ссылка

отвечен 18 Янв '13 1:26

10|600 символов нужно символов осталось
1

При $%p=0$% уравнение имеет корни $%-1$% и $%1$%. Если $%p\ne0,$% то получим $%\left[ \begin{aligned} (x-p)^2=1,\\ (x-p)^2=\frac{1}{p}. \end{aligned} \right.$%

ссылка

отвечен 18 Янв '13 23:25

10|600 символов нужно символов осталось
0

Левая часть уравнения четна относительно (х-р).Следовательно если (х-р) - корень уравнения , то (р-х) тоже корень. Относительно х это утверждение выглядит так: если х- корень уравнения, то 2р-х - тоже корень уравнения. То есть точка 2р является как бы осью симметрии для корней уравнения. Слева и справа от точки 2р будет равное количество корней. Если p<=0, то количество положительных корней будет в лучшем случае равно количеству отрицательных. А если р>0, то, чтобы положительных корней было больше чем отрицательных, нужно, чтобы хотя бы один корень попал в интервал от 0 до 2р. Корни нашел как указала Lyudmyla. Они равны р+1, р-1, р+sqrt(1/p), p-sqrt(1/p). Совокупность решения двойных неравенств 0<=x<=2p (четырех) везде дает ответ p>=1

ссылка

отвечен 19 Янв '13 13:32

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,551

задан
18 Янв '13 0:03

показан
1747 раз

обновлен
19 Янв '13 13:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru