Вычислить интеграл $%\int_{0}^{1} \frac{x^3 \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} dx$%.

задан 16 Май '17 5:19

10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим тригонометрическую замену $%x=\sin t$%, где $%0\le t\le\frac{\pi}2$%. Получится $%\int_0^{\pi/2}t\sin^3t\,dt$%. С учётом формулы синуса утроенного угла $%\sin3t=3\sin t-4\sin^3t$%, выражаем куб синуса: $%\sin^3t=\frac34\sin t-\frac14\sin3t$%.

Интеграл $%\int t\sin t\,dt=-\int t\,d(\cos t)=-t\cos t+\int\cos t\,dt=\sin t-t\cos t+C$% легко вычисляется по частям. К нему сводится второй из интегралов: $%\int t\sin3t\,dt=\frac19(\sin3t-3t\cos3t)+C$%. Остальное -- дело техники. Определённый интеграл здесь равен $%\frac34+\frac14\cdot\frac19=\frac79$%.

ссылка

отвечен 16 Май '17 9:41

@falcao, разобралась! Большое спасибо!

(16 Май '17 12:10) alena ivanova
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,265

задан
16 Май '17 5:19

показан
228 раз

обновлен
16 Май '17 12:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru