алгебра - Задача на группы

Рассмотрим действие группы $%G$% сопряжениями на множестве подгрупп. Длина орбиты подгруппы $%H$% при таком действии равна индексу стабилизатора подгруппы, который содержит $%H$%, и потому его индекс не превосходит индекса $%H$%, равного $%m > 1$%. Это значит, что число подгрупп, сопряжённых $%H$%, не превосходит $%m$%. Значит, общее число элементов объединения сопряжённых подгрупп не больше $%m|H|=|G|$%. При этом единичный элемент входит в каждую из таких подгрупп, а их больше одной. Поэтому он учитывается более одного раза, откуда следует, что число элементов объединения строго меньше $%|G|$%.

Конечность групп здесь существенна. Для бесконечных групп это утверждение верным уже не будет.