Все еще навеяно задачей о встречах, но теперь немного в другой форме: Допустим, что человек приходит в случайный промежуток времени от 12:00 до 16:00, второй тоже приходит в этот промежуток времени. Первый ждет второго, сколько в среднем он будет ждать его появления?

задан 16 Май '17 14:00

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть случайные величины $%X$%, $%Y$% независимы и равномерно распределены в отрезке $%[0;1]$%. Найдём плотность с.в. $%|Y-X|$%, а затем и её матожидание.

Если $%a\in[0;1]$%, то вероятность $%|Y-X|\le a$% находится из геометрических соображений. Это площадь части единичного квадрата, расположенного в пределах полосы между прямыми $%y=x+a$% и $%y=x-a$%. Её дополнение состоит из двух равнобедренных прямоугольных треугольников, из которых можно сложить квадрат со стороной $%1-a$%. Это значит, что функция распределения $%F(a)$% случайной величины $%|Y-X|$% равна $%1-(1-a)^2=2a-a^2$%, а плотность равна $%p(a)=2-2a$% в пределах единичного отрезка (вне его плотность равна нулю). Тогда $%M|Y-X|=\int_0^1ap(a)\,da=\frac13$%.

Если отрезок времени равен 4 часам, то среднее время ожидания составит одну треть от него, то есть $%\frac43$% часа.

Ответ можно получить и без вычислений. Представим себе, что мы на окружность бросаем три точки (независимо и равномерно). Они делят окружность на три дуги, средняя длина каждой из которых есть $%\frac13$% длины окружности. Теперь достаточно представить себе, что одна из точек есть начало отсчёта, а две другие -- время прихода первого и второго.

ссылка

отвечен 16 Май '17 14:28

10|600 символов нужно символов осталось
1

Думаю, что можно так поступить...

Пусть $%12+X$% и $%12+Y$% время появления первого и второго соответственно... считаем, что СВ $%(X:Y)$% равномерно распределена в квадрате $%[0;4]^2$%...

Понятно, что при $%X \ge Y$% время ожидания нулевое... а при $%X < Y$% - оно равно $%Y-X$%... тогда среднее время равно $$ \iint\limits_{0\le x\le y\le 4} \frac{y-x}{4^2}\;dx\,dy $$

ссылка

отвечен 16 Май '17 14:21

изменен 16 Май '17 14:21

@all_exist: тогда надо дополнительно умножать на 2, и получится 4/3.

(16 Май '17 14:30) falcao

@falcao, зачем умножать на 2, если Первый ждет второго?... не сказано же, что первый пришедший, а просто первый...

(16 Май '17 15:06) all_exist

@all_exist: если под "первым" понимать первого пришедшего (я решал задачу именно в такой постановке), то среднее время ожидания составляет 4/3. Как я понимаю, Вы рассматривали другую интерпретацию, которая в принципе тоже возможна. Тогда значение будет в два раза меньше.

(16 Май '17 15:48) falcao

Да, имелось в виду, что "первым" может быть любой из двух людей.

(16 Май '17 16:10) Williams Wol...
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,704

задан
16 Май '17 14:00

показан
346 раз

обновлен
16 Май '17 16:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru