математика - Теория вероятностей

Пусть случайные величины $%X$%, $%Y$% независимы и равномерно распределены в отрезке $%[0;1]$%. Найдём плотность с.в. $%|Y-X|$%, а затем и её матожидание.

Если $%a\in[0;1]$%, то вероятность $%|Y-X|\le a$% находится из геометрических соображений. Это площадь части единичного квадрата, расположенного в пределах полосы между прямыми $%y=x+a$% и $%y=x-a$%. Её дополнение состоит из двух равнобедренных прямоугольных треугольников, из которых можно сложить квадрат со стороной $%1-a$%. Это значит, что функция распределения $%F(a)$% случайной величины $%|Y-X|$% равна $%1-(1-a)^2=2a-a^2$%, а плотность равна $%p(a)=2-2a$% в пределах единичного отрезка (вне его плотность равна нулю). Тогда $%M|Y-X|=\int_0^1ap(a)\,da=\frac13$%.

Если отрезок времени равен 4 часам, то среднее время ожидания составит одну треть от него, то есть $%\frac43$% часа.

Ответ можно получить и без вычислений. Представим себе, что мы на окружность бросаем три точки (независимо и равномерно). Они делят окружность на три дуги, средняя длина каждой из которых есть $%\frac13$% длины окружности. Теперь достаточно представить себе, что одна из точек есть начало отсчёта, а две другие -- время прихода первого и второго.