Здравствуйте! Помогите с задачей. Интересует также доказательство невозможности случая когда точка $%M$% находится между точками $%C$% и $%L$%.

Окружность с центром в точке $%O$%, лежащей на стороне $%AB$% треугольника $%ABC$%, проходит через точку $%A$%, пересекает сторону $%AC$% в точке $%K$%, а сторону $%BC$% – в точках $%L$% и $%M$%. Известно, что $%KC=CL=MB=2$%, $%AK=3$%. Найдите отношение длин отрезков $%AO$% и $%OB$%.

Ответ: $%5:7$%.

задан 16 Май '17 16:15

10|600 символов нужно символов осталось
2

$%\;\;\;\;$% Надо рассмотреть два случая: точка $%L$% находится между точками $%C$% и $%M$% и точка $%M$% находится между точками $%C$% и $%L$%.

$%\;\;\;\;$% Рассмотрим первый случай. alt text

$%\;\;\;\;$%Треугольник $%KCL$% равнобедренный, проведем в нем высоту $%CH$%, она будет и медианой, и высотой. Значит, $%CH$% есть перпендикуляр, проведенный к хорде в её середину, откуда следует, что $%CH$% проходит через центр окружности $%O$%. Точки $%E$% и $%D$% – точки пересечения $%CO$% с окружностью.

$%\;\;\;\;$% Заметим, что треугольники $%KCE$% и $%LCE$% равны по двум сторонам и углу между ними ($%CE$% – общая сторона). Значит хорды $%KE$% и $%LE$% равны, равны и соответствующие им дуги окружности. Угол, образованный секущими, проведенными из одной точки к окружности, равен полуразности дуг окружности, которые заключены между секущими. Рассмотрим равные углы $%ACD$% и $%BCD$%. Дуги $%KE$% и $%LE$% равны по доказанному, значит равны и дуги $%MD$% и $%DA$%. Поскольку $%DE$% – диаметр, то дуги $%LM$% и $%AK$% равны как разность: $$\smile{LM}=\smile{ED}-\smile{EL}-\smile{MD}=\smile{DE}-\smile{KE}-\smile{DA}.$$ $%\;\;\;\;$%Получается, что хорды $%AK$% и $%LM$% также равны. По свойству биссектрисы $%CO$% треугольника $%ABC$% имеем: $$\frac{AO}{OB}=\frac{AC}{CB}=\frac{5}{7}.$$

$%\;\;\;\;$%Теперь рассмотрим второй случай. alt text $%\;\;\;\;$%Точно также проведем высоту $%CH$% равнобедренного треугольника $%KCL$%. Повторяя предыдущие рассуждения, получим, что дуги $%KE$% и $%EL$% равны из равенства треугольников $%KCE$% и $%LCE$%. Дуги $%LD$% и $%DK$% равны как разность. Тогда $$\angle{ACD}=\frac{\smile{DA}-\smile{KE}}{2}=\frac{\smile{DK}-\smile{AK}-\smile{KE}}{2}=\frac{\smile{LD}-\smile{AK}-\smile{EL}}{2}.$$ $$\angle{BCD}=\frac{\smile{LD}-\smile{EM}}{2}=\frac{\smile{LD}-\smile{EL}+\smile{ML}}{2}.$$ $%\;\;\;\;$%Получается, что $$\frac{-\smile{AK}}{2}=\frac{\smile{ML}}{2},$$ чего не может быть. Значит, второй случай не реализуется.

Ответ: $%\displaystyle{\frac{5}{7}}$%.

ссылка

отвечен 17 Май '17 12:23

изменен 17 Май '17 13:01

1

@Don_Eduardo Я Вам добавил репутации, теперь можете прикрепить чертеж. :)

(17 Май '17 12:33) kadavr

@kadavr, хах, спасибо большое) Вам осталось лишь рассказать мне, как красиво вставлять чертежи. Хочется чуть уменьшить размер изображений.

(17 Май '17 12:43) Don_Eduardo

@Don_Eduardo Да теперь понятно, спасибо. А я что-то ступил с чертежом. Поэтому вместо того, чтобы сложить ML c LB, вычел.

(17 Май '17 13:24) kadavr

@Don_Eduardo: обоснование того, что "неправильного" порядка расположения точек быть не может, лучше осуществить как можно проще -- чтобы не делать для этого случая лишнего чертежа, и чтобы это рассуждение стало частью решения. Я бы рассмотрел для этого треугольники CKO и CLO: они равны по трём сторонам. Отсюда следует, что CO является осью симметрии, переводящей K в L и A в M. Из того, что K лежит между A и C, следует, что L лежит между M и C. Заодно получается равенство ML=AK=3, и тот факт, что CO -- биссектриса. Тогда отношение AO:OB равно CO:CB=(2+3):(2+3+2)=5:7.

(18 Май '17 4:56) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

CO- биссектриса угла АСВ, АК=LM, откуда LB=1. Поскольку СO-биссектриса AO/ОB=AC/CB AC=2+3 CB=2+1 ответ 5:3.

ссылка

отвечен 17 Май '17 1:36

изменен 17 Май '17 1:43

@kadavr, $%AO$% не может быть больше $%OB$%, но всё равно спасибо, я разобрался с задачей и доказал, что $%M$% не может быть между $%C$% и $%L$%.

(17 Май '17 9:54) Don_Eduardo

@Don_Eduardo O лежит на стороне АВ откуда АО радиус окружности. Угол САВ острый, в противном случае К не попадет на сторону АС. СВ пересекает окружность в двух точках, значит угол АСВ тоже острый, и значит L и М могут лежать лишь по разные стороны от В. Поэтому СВ пересекает диаметр на котором лежит А. Поэтому ОВ<АО. Может я что-то не учел, ваш чертеж покажите, если не трудно...

(17 Май '17 12:00) kadavr

@kadavr, извините, чертеж пока прикрепить не могу, так как не позволяет количество очков репутации (нужно 60).

(17 Май '17 12:24) Don_Eduardo
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×730

задан
16 Май '17 16:15

показан
672 раза

обновлен
18 Май '17 4:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru