|
Здравствуйте! Помогите с задачей. Интересует также доказательство невозможности случая когда точка $%M$% находится между точками $%C$% и $%L$%. Окружность с центром в точке $%O$%, лежащей на стороне $%AB$% треугольника $%ABC$%, проходит через точку $%A$%, пересекает сторону $%AC$% в точке $%K$%, а сторону $%BC$% – в точках $%L$% и $%M$%. Известно, что $%KC=CL=MB=2$%, $%AK=3$%. Найдите отношение длин отрезков $%AO$% и $%OB$%. Ответ: $%5:7$%. задан 16 Май '17 16:15 
Don_Eduardo |
|
$%\;\;\;\;$% Надо рассмотреть два случая: точка $%L$% находится между точками $%C$% и $%M$% и точка $%M$% находится между точками $%C$% и $%L$%. $%\;\;\;\;$% Рассмотрим первый случай.
$%\;\;\;\;$%Треугольник $%KCL$% равнобедренный, проведем в нем высоту $%CH$%, она будет и медианой, и высотой. Значит, $%CH$% есть перпендикуляр, проведенный к хорде в её середину, откуда следует, что $%CH$% проходит через центр окружности $%O$%. Точки $%E$% и $%D$% – точки пересечения $%CO$% с окружностью. $%\;\;\;\;$% Заметим, что треугольники $%KCE$% и $%LCE$% равны по двум сторонам и углу между ними ($%CE$% – общая сторона). Значит хорды $%KE$% и $%LE$% равны, равны и соответствующие им дуги окружности. Угол, образованный секущими, проведенными из одной точки к окружности, равен полуразности дуг окружности, которые заключены между секущими. Рассмотрим равные углы $%ACD$% и $%BCD$%. Дуги $%KE$% и $%LE$% равны по доказанному, значит равны и дуги $%MD$% и $%DA$%. Поскольку $%DE$% – диаметр, то дуги $%LM$% и $%AK$% равны как разность: $$\smile{LM}=\smile{ED}-\smile{EL}-\smile{MD}=\smile{DE}-\smile{KE}-\smile{DA}.$$ $%\;\;\;\;$%Получается, что хорды $%AK$% и $%LM$% также равны. По свойству биссектрисы $%CO$% треугольника $%ABC$% имеем: $$\frac{AO}{OB}=\frac{AC}{CB}=\frac{5}{7}.$$ $%\;\;\;\;$%Теперь рассмотрим второй случай.
Ответ: $%\displaystyle{\frac{5}{7}}$%. отвечен 17 Май '17 12:23
Don_Eduardo 1
@Don_Eduardo Я Вам добавил репутации, теперь можете прикрепить чертеж. :)
(17 Май '17 12:33)
kadavr
@kadavr, хах, спасибо большое) Вам осталось лишь рассказать мне, как красиво вставлять чертежи. Хочется чуть уменьшить размер изображений.
(17 Май '17 12:43)
Don_Eduardo
@Don_Eduardo Да теперь понятно, спасибо. А я что-то ступил с чертежом. Поэтому вместо того, чтобы сложить ML c LB, вычел.
(17 Май '17 13:24)
kadavr
@Don_Eduardo: обоснование того, что "неправильного" порядка расположения точек быть не может, лучше осуществить как можно проще -- чтобы не делать для этого случая лишнего чертежа, и чтобы это рассуждение стало частью решения. Я бы рассмотрел для этого треугольники CKO и CLO: они равны по трём сторонам. Отсюда следует, что CO является осью симметрии, переводящей K в L и A в M. Из того, что K лежит между A и C, следует, что L лежит между M и C. Заодно получается равенство ML=AK=3, и тот факт, что CO -- биссектриса. Тогда отношение AO:OB равно CO:CB=(2+3):(2+3+2)=5:7.
(18 Май '17 4:56)
falcao
|
$%\;\;\;\;$%Точно также проведем высоту $%CH$% равнобедренного треугольника $%KCL$%. Повторяя предыдущие рассуждения, получим, что дуги $%KE$% и $%EL$% равны из равенства треугольников $%KCE$% и $%LCE$%. Дуги $%LD$% и $%DK$% равны как разность. Тогда $$\angle{ACD}=\frac{\smile{DA}-\smile{KE}}{2}=\frac{\smile{DK}-\smile{AK}-\smile{KE}}{2}=\frac{\smile{LD}-\smile{AK}-\smile{EL}}{2}.$$
$$\angle{BCD}=\frac{\smile{LD}-\smile{EM}}{2}=\frac{\smile{LD}-\smile{EL}+\smile{ML}}{2}.$$
$%\;\;\;\;$%Получается, что $$\frac{-\smile{AK}}{2}=\frac{\smile{ML}}{2},$$ чего не может быть. Значит, второй случай не реализуется. |
CO- биссектриса угла АСВ, АК=LM, откуда LB=1. Поскольку СO-биссектриса AO/ОB=AC/CB AC=2+3 CB=2+1 ответ 5:3. отвечен 17 Май '17 1:36 
kadavr @kadavr, $%AO$% не может быть больше $%OB$%, но всё равно спасибо, я разобрался с задачей и доказал, что $%M$% не может быть между $%C$% и $%L$%.
(17 Май '17 9:54)
Don_Eduardo
@Don_Eduardo O лежит на стороне АВ откуда АО радиус окружности. Угол САВ острый, в противном случае К не попадет на сторону АС. СВ пересекает окружность в двух точках, значит угол АСВ тоже острый, и значит L и М могут лежать лишь по разные стороны от В. Поэтому СВ пересекает диаметр на котором лежит А. Поэтому ОВ<АО. Может я что-то не учел, ваш чертеж покажите, если не трудно...
(17 Май '17 12:00)
kadavr
@kadavr, извините, чертеж пока прикрепить не могу, так как не позволяет количество очков репутации (нужно 60).
(17 Май '17 12:24)
Don_Eduardo
|