|
Пусть А - симметричная матрица размера nxn с двумя собственными значениями (кратность соответствующего корня характеристического многочлена не меньше 2).Докажите,что столбцы u, Au,..., A^(n-1)u линейно зависимы при любом столбце u задан 16 Май '17 16:39 
dmin |
|
Что-то здесь не то! Симметрическая матрица подобна диагональной, поэтому размеры всех ее жордановых клеток равны 1, и тогда ее минимальный многочлен совпадает с хар. многочленом, т.е. имеет степень $%n.$% В то же время, обязательно есть вектор, минимальный многочлен которого относительно матрицы совпадает с минимальным многочленом матрицы... отвечен 16 Май '17 17:33 
Амфибрахий @Амфибрахий: условие в самом деле какое-то странное, но матрица может быть единичной, и тогда характеристический многочлен не равен минимальному.
(16 Май '17 18:01)
falcao
|
Тут какая-то смысловая путаница. Сначала говорится про два собственных значения, а пояснение в скобках означает совсем другое -- что кратность собственного значения (то ли каждого, то ли некоторого) не меньше двух.
@falcao указано, что данные собственные значения равны
@dmin: хотелось бы точной формулировки. У Вас написано, что собственных значений два (по количеству). Но ведь имеется в виду не это? Правильно ли я понимаю, что какое-то из собственных значений является кратным, а остальное -- как придётся?
@falcao да, верно
@dmin: матрицу можно диагонализировать. Если есть кратное собственное значение, то многочлен степени 1, равный t-k, аннулирует матрицу порядка 2. Тогда всю матрицу аннулирует многочлен степени n-1, откуда всё следует.