Здравствуйте! Объясните мне, холопу, что с этой задачей не так.


Найдите все значения параметра $%a$%, при которых для любого значения параметра $%b$% неравенство $$(a+b)x^{2}+(3b-4a+7)x+4a-2b-6\geqslant 0$$ имеет хотя бы одно решение.


Вроде бы ничего сложного: считаем дискриминант и смотрим, при каких $%a$% он будет больше или равен нулю для любого $%b$%. $$D={(3b-4a+7)}^{2}-4(a+b)(4a-2b-6)=17{b}^{2}-2(16a-33)b-32a+49\geqslant 0.$$ Теперь надо найти такие $%a$%, при которых записанное неравенство будет иметь хотя бы одно решение для любого $%b$%. Поскольку коэффициент при $%{b}^{2}$% положителен, то достаточно добиться того, чтобы дискриминант был меньше или равен нулю. $$\frac{D}{4}={(16a-33)}^{2}+544a-833=256{(a-1)}^{2}\leqslant 0.$$ Получается, что только $%a=1$% подходит. Однако ответ к этой задаче выглядит так: $%a\geqslant 1$%. Полного решения я не нашел (поэтому обращаюсь к Вам), но в одной из книг я нашел следующее

Указание. Выражение в неравенстве представьте в виде $$(a-1){(x-1)}^{2}+(b+1)({x}^{2}+3x-2)$$

Примерное строительство графиков показывает, что при $%a-1<0$% первая парабола будет направлена вниз и очень быстро найдутся такие $%b$%, при которых неравенство выполняться не будет.

При $%a-1\geqslant 0$% графики будут такими, что действительно при любом $%b$% неравенство будет выполняться.

Внимание, вопросы! Где ошибка/упущение в проведенном рассмотрении дискриминантов получавшихся неравенств? Как можно было додуматься до именно такого разложения на множители?

задан 16 Май '17 20:23

изменен 16 Май '17 22:48

10|600 символов нужно символов осталось
1

Ошибка в рассуждении в самом начале. Прежде всего, понятие дискриминанта имеет смысл для квадратного трёхчлена. Здесь же $%b$% произвольно, и возможен случай $%b=-a$%, когда коэффициент при $%x^2$% равен нулю. Его, по идее, нужно рассмотреть отдельно. Там получается $%(a-1)(7x-6)\le0$%, и понятно, что решения относительно $%x$% есть всегда. Но это как бы мелочь, а существенный момент будет выявлен чуть ниже.

Теперь мы имеем два случая: $%a+b > 0$% и $%a+b < 0$%. Если имеет место первый из них, то ветви параболы направлены вверх. Здесь можно ничего не анализировать, так как неотрицательные значения многочлен от $%x$% заведомо принимает.

Пусть имеет место второй из случаев. Здесь ветви параболы направлены вниз. Решение относительно $%x$% имеется тогда и только тогда, когда квадратный трёхчлен имеет хотя бы один корень. Это значит, что его дискриминант неотрицателен. То есть имеет место написанное Вами неравенство. Но нас интересуют такие $%a$%, для которых оно выполняется не для всех $%b$% (это совершенно не необходимо), а лишь для $%b < -a$%, в соответствии со вторым случаем. В этом и состоит причина того, что ответы не сошлись.

При нахождении приведённого дискриминанта трёхчлена относительно переменной $%b$% получается точный квадрат. Это говорит о том, что у трёхчлена есть явно находимые корни, а потому и разложение на множители. Тогда неравенство $%D\ge0$% примет более ясный вид, а именно, $%(b+1)(17b-32a+49)\ge0$%.

Здесь можно было бы перейти к новым переменным $%b+1$% и $%1-a$% из-за особенностей чисел (бросается в глаза, что 17+32=49), но можно этого и не делать. Достаточно заметить, что левая часть как многочлен относительно $%b$% имеет два корня $%-1$% и $%\frac{32a-49}{17}$%. При $%a=1$% они совпадают, и неравенство имеет место для любого $%b$% (что было отмечено в Вашем рассуждении). При $%a\ne1$% эти корни различны, и многочлен принимает отрицательные значения на интервале с указанными концами. При $%b < -a$% таких значений быть не должно, и это значит, что всюду на интервале между корнями должно выполняться неравенство $%b\ge-a$%. Оно же выполняется и для концов интервала, то есть можно вместо него говорить об отрезке. Все точки отрезка не меньше $%-a$% тогда и только тогда, когда это верно для обоих его концов. В нашем случае это даёт $%-1\ge-a$% и $%\frac{32a-49}{17}\ge-a$%. Оба неравенства равносильны $%a\ge1$%, что и даёт ответ.

По поводу указания к решению: идея разделить переменные $%a$% и $%b$% с целью посмотреть, что это даёт, довольно естественна. Правда, это не разложение на множители, и получиться при этом должно не то, что написано, а следующее: $%(a-1)(x-2)^2+(b+1)(x^2+3x-2)$%. Кроме всего прочего, требуется доказательство того, что сказанное по поводу обоих случаев $%a\ge1$% и $%a < 1$%, будет верно. В принципе, это не очень сложно, но какое-то обоснование придётся давать.

ссылка

отвечен 16 Май '17 21:46

@falcao, спасибо! Да, я ошибся в записи "Указания", вместо 1 должно быть 2, как Вы верно заметили. Можно было, наверное, применить следующее рассмотрение: решений не будет тогда, когда ветви направлены вниз и когда ордината вершины параболы меньше нуля. Найти такие значения $%a$%, а ответом послужат все остальные. Правильно ли такое рассуждение?

(16 Май '17 22:28) Don_Eduardo

@Don_Eduardo: да, это так, но про ветви, направленные вниз, было сказано, а учёт ординаты вершины -- это в точности то же, что учёт дискриминанта.

(16 Май '17 22:40) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,114
×55

задан
16 Май '17 20:23

показан
847 раз

обновлен
16 Май '17 22:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru