|
Пусть $%R=I_1+I_2$% разложение коммутативного кольца с единицей $%1$% в прямую сумму идеалов $%I_1$%, $%I_2$%; $%\ 1=1_1+1_2$%, $%1_1\in I_1$%, $%1_2\in I_2$%. Доказать, что $%1_1$%, $%1_2$% будут единицами соответственно в $%I_1$%, $%I_2$%. задан 17 Май '17 20:35 
Поц |
|
Пусть $%r\in I_1$%. Домножая равенство $%1=1_1+1_2$% на $%r$%, имеем $%r=r1_1+r1_2$%, где первое слагаемое принадлежит $%I_1$%, а второе $%I_2$%. С другой стороны, у нас есть разложение $%r=r+0$%, где $%r\in I_1$%, $%0\in I_2$%. Ввиду того, что сумма прямая, разложения должны совпадать, откуда $%r1_1=r$%. Тем самым, $%1_1$% есть единица $%I_1$%. Доказательство того, что $%1_2$% есть единица $%I_2$%, совершенно аналогично. отвечен 17 Май '17 23:38 
falcao |