Точка $%(U,V)$% случайно выбирается в единичном квадрате, $%(X,Y)=(-lnU,-lnV)$%. Найти распределения X, Y и совместную плотность $%(X,Y)$%. Найти х.ф. величны $%2X+3Y$%. Найти распределение $%(r,\phi)$% - полярных координат вектора $%(X,Y)$%.

задан 17 Май '17 22:45

изменен 17 Май '17 23:40

10|600 символов нужно символов осталось
1

Помогу начать: По условию, совместная плотность$%p(u;v)$% вектора $%(U;V)$% задается правилом $% p(u;v)=1, 0< u <1,0 < v<1,$% и $% p(u;v)=0$% в остальных точках, и тогда плотность распределения $%p_U(x)$% с.в. $%U$% равна 0, если $%x\leq 0$% или $%x\geq 1,$% и равна $%\int\limits_{0}^{1}1dt=1$% для $%0< x <1.$% Поэтому функцию распределения с.в. $%X$% ищем так: $% F_X(x)=p(-\ln U < x)=p(U > e^{-x}). $% Если $%x\leq 0,$% то $%F_X(x)=0,$% для $%x\geq 0$% $% F_X(x)=1-\int\limits_{0}^{e^{-x}}1dt=1-e^{-x}.$% В силу симметрии вторая компонента имеет такое же распределение. Далее нужно проверить (по определению), что компоненты вектора $%(U;V)$% и, поэтому и вектора $%(X;Y)$% независимы, что позволит решить следующие п.

ссылка

отвечен 17 Май '17 23:47

@Амфибрахий, спасибо, вроде бы почти все пункты получились. Единственное, совсем не получается доказать напрямую из определения, что $%XY$% - случайная величина. Буду благодарен, если натолкнете на какие-нибудь мысли.

(18 Май '17 2:33) Rocknrolla

@Rocknrolla: а зачем это доказывать из определения? Есть общие факты типа того, что сумма и произведение случайных величин -- это случайные величины. Это уже доказано в теории. Можно повторить эти рассуждения для себя, чтобы знать, откуда что следует, но в задачах обычно это считается известным. А так можно задаваться любыми вопросами типа того, почему произведение непрерывных функций непрерывно.

(18 Май '17 4:08) falcao

Из общих соображений это понятно, просто в этой задаче есть такой подпункт.

(18 Май '17 10:58) Rocknrolla
1

@Rocknrolla: я совершенно не понимаю необходимости давать такие подпункты. Но доказательство там стандартное: функция (x,y)->xy непрерывна, прообраз открытого множества открыт. Всякое открытое множество представляется в виде счётного объединения "элементарных" -- когда x и y принадлежат открытым интервалам с рациональными концами. Такие события принадлежат сигма-алгебре, и их счётное объединение тоже принадлежит.

(18 Май '17 11:43) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,959

задан
17 Май '17 22:45

показан
410 раз

обновлен
18 Май '17 11:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru