Найти условный экстремум функции.

$%u=5x+y+6z $% при $%xy^2z =4000.$%

Обозначим $%f(x,y,z)=xy^2 z-4000$%. Для нахождения условного экстремума функции трёх переменных $%u(x,y,z)$% составим функцию Лагранжа, которая будет иметь вид:

$%F(x,y,z)=u(x,y,z)+λ\cdot f(x,y,z)=5x+y+6z+λ(xy^2 z-4000)$%

Составляем систему уравнений:

$%\begin{cases}5+λy^2 z=0\\1+2λxyz=0\\6+λxy^2=0\\xy^2 z =4000\end{cases} $%

Из первого уравнения данной системы следует, что $%λ≠0$%. Если бы $%λ=0$%, то первое уравнение системы стало бы таким: $%5+0\cdot y^2 z=0,5=0$%. Полученное противоречие и указывает на то, что $%λ≠0.$%

$%\begin{cases}5x+λxy^2 z=0\\y+2λxy^2z=0\\6z+λxy^2z=0\\xy^2 z =4000\end{cases} $%

$%\begin{cases}x=-800λ\\y=-8000λ\\z =-\frac{4000λ}{6}=-\frac{2000λ}{3}\\xy^2 z =4000\end{cases} $%

Подставим эти выражения в 4-е уравнение и найдём значения множителя Лагранжа:

$%(-800λ)(-8000λ)^2\frac{-4000λ}{6}=4000$%

$%(-800λ)(-8000λ)^2\frac{-λ}{6}=1$%

$%(-800λ)(-8000λ)^2 (-λ)=6$%

$%λ^4=0,0000009375 $%

$%λ=\pm\sqrt[4]{0,0000009375}$%

alt text

задан 18 Май '17 0:59

изменен 20 Май '17 0:10

метод множителей Лагранжа Вам в помощь...

(18 Май '17 1:18) all_exist

@Koval: если у Вас задача "типовая", то надо сначала посмотреть в учебниках разбор аналогичных примеров, а потом пытаться решать по аналогии. Когда что-то не получается, уточнять или спрашивать. Тогда будет польза. А если просто брать стандартную задачу и сразу спрашивать, то пользы, скорее всего, не будет.

(18 Май '17 1:31) falcao

@Koval, помогите пожалуйста дальше - Вы неправильно нашли частные производные от $%f$%...

(18 Май '17 21:05) all_exist

По Вашим записям, например, $%(xy^2z)_x$% равно $%1$%... а это не так... и с остальными производными аналогично...

(18 Май '17 21:10) all_exist

@Koval: Вы неправильно функцию продифференцировали, и получились противоречащие друг другу уравнения. В первом случае берётся производная по x. Это даёт 5+Ly^2z=0, и так далее.

(18 Май '17 21:11) falcao
1

@Koval, умножьте первые уравнения на икс, игрек и зет соответственно... и воспользуйтесь четвёртым уравнением...

(18 Май '17 21:31) all_exist

@Koval: с какого момента не получается? После рекомендованного домножения у Вас в трёх уравнениях получится xy^2z, равное 4000. Это позволяет выразить x,y,z через L. Потом эти вещи надо подставить в последнее уравнение и найти L.

(18 Май '17 21:47) falcao

что я делаю не так? - неверно решаете линейное уравнение относительно $%\lambda^4$%...

(18 Май '17 22:10) all_exist

@Koval: много арифметических ошибок. У числа z потерян "минус", а в конце перепутано деление и умножение.

(18 Май '17 22:24) falcao

затем разделил на 6 - вот я и говорю, что не умеете решать линейные уравнения за 3-й класс...

Чему равен икс, если $%3x=5$%?...

(18 Май '17 22:25) all_exist

@Koval: Вас не смущает то, что четвёртая степень получилась отрицательной? Неужели так трудно следить за числом "минусов"?

Вычисления здесь делаются на калькуляторе. Числа неприятные, но такое уж дано условие.

(18 Май '17 22:41) falcao

но число стало страшнее - обыкновенные дроби Вас спасут...

(18 Май '17 22:45) all_exist
показано 5 из 12 показать еще 7
10|600 символов нужно символов осталось
0
ссылка

отвечен 18 Май '17 1:46

10|600 символов нужно символов осталось
0

Нужно подставить в систему? Но это не возможно посчитать, помогите найти точки - Что за дурацкая привычка делить на калькуляторе?...

$$ x=-\frac{4000\cdot \lambda}{5}, y=-2\cdot 4000\cdot \lambda, \quad z=-\frac{4000\cdot \lambda}{6} $$

$$ xy^2z = \frac{4\cdot 4000^4\cdot \lambda^4}{5\cdot 6}=4000 $$

$$ \lambda^4 = \frac{5\cdot 6\cdot 4000}{4\cdot 4000^4 }= \frac{3}{400^4 } $$

$$ \lambda = \pm \frac{\sqrt[4]{3}}{400} $$

ссылка

отвечен 18 Май '17 23:08

изменен 19 Май '17 5:24

@all_exist не могли бы вы пожалуйста посмотреть правильно ли я сделал?

(19 Май '17 0:02) Koval

@Koval, полезно проверять чужие решения... я указывал путь, но забыл при копипасте записать некоторые множители... (исправился)

не могли бы вы пожалуйста посмотреть правильно ли я сделал? - нет... где производные по $%z$%?... где использование связи для дифференциалов первого порядка, которое получается из ограничения?... Посмотрите второй пример по ссылке, данной @Амфибрахий ...

(19 Май '17 5:28) all_exist

@Koval, там описан способ без определителя... для этого выписываете дифференциал уравнения связи... выражаете из него, например, $%dx$% и подставляете в $%d^2L$%... получаете простой дифференциал второго порядка для функции с двумя переменными, для которого используете обычные критерии знакоопределённости...

И не забывайте, что все дифференциалы Вы рассматриваете в критической точке...

(19 Май '17 23:36) all_exist

@all_exist не могу понять вот как дальше мне выразить тот же dx?

(19 Май '17 23:42) Koval

@all_exist: я согласен с Вами, что калькулятором не надо пользоваться раньше времени. То есть там выделяются нули и прочее. Но извлекать корень 4-й степени из 3 другими средствами не получится, а приближённые численные значения обычно в таких случаях не лишние.

@Koval: выразить дифференциал нельзя в принципе. Это же некий символ, и его надо так и оставить. Ваша задача -- получить дифференциальную форму, и по коэффициентам определить тип условного экстремума. Для этого дела есть формулы через определители. А дифференциалы -- это стандартная символика, на которую можно не обращать внимания.

(19 Май '17 23:53) falcao

@falcao, Но извлекать корень 4-й степени из 3 другими средствами не получится - а зачем его извлекать?... чем он мешает?...

выразить дифференциал нельзя в принципе. - может я не так выразился... но из равенства $%df = A\,dx+B\,dy+C\,dz = 0$% мы же можем выразить дифференциал переменной $%dx = -\frac{B}{A}\,dy - \frac{C}{A}\,dz$%...

(20 Май '17 0:00) all_exist

@falcao так я верно делаю? дальше найти определитель и подставить точки?

(20 Май '17 0:11) Koval

@Koval: схема примерно эта, но в детали я не вникал. Вообще, я не люблю трудоёмких заданий. У меня нет к ним никакого интереса.

@all_exist: есть определённые "каноны". Вот возьмите задачу на вероятности. Обычно "прикидывают", чему это дело равно. Так же и в задачах на экстремум -- чему там равно максимальное или минимальное значение? Хотя бы порядок: 10, или 100, или 1000? Сочетание "точного" и приближённого значения в таких случаях, как правило, желательно.

(20 Май '17 0:29) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,862

задан
18 Май '17 0:59

показан
800 раз

обновлен
20 Май '17 0:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru