|
Имеется два ряда, почти ничем не отличающиеся друг от друга. Специалисты по рядам, объясните, пожалуйста, почему один ряд равен трансцендентному числу, а другой - рациональному? $%\frac{1}{1}\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\frac{1}{7}+\frac{1}{9}\frac{1}{11}+…+\frac{1}{4n+1}\frac{1}{4n+3}+… = \frac{\pi}{8}$% $%\frac{1}{1}\frac{1}{5} + \frac{1}{5}\frac{1}{9}+\frac{1}{9}\frac{1}{13}+…+\frac{1}{4n+1}\frac{1}{4n+5}+… = \frac{1}{4}$% задан 18 Янв '13 20:14 
nikolaykruzh... |
|
$$\sum_{i=0}^n\frac1{(4i+1)(4i+5)}=\sum_{i=0}^n\left(\frac1{4(4i+1)}-\frac1{4(4i+5)}\right)=\sum_{i=0}^n\frac1{4(4i+1)}-\sum_{i=0}^n\frac1{4(4i+5)}=$$
$$=\sum_{i=0}^n\frac1{4(4i+1)}-\sum_{i=1}^{n+1}\frac1{4(4i+1)}=\left(\frac14+\sum_{i=1}^n\frac1{4(4i+1)}\right)-\left(\frac1{4(4n+5)}+\sum_{i=1}^n\frac1{4(4i+1)}\right)=$$
$$=\frac14-\frac1{4(4n+5)}$$
При $%n\rightarrow\infty$%, данная сумма устремляется к $%\frac14$%, как Вы и написали. отвечен 18 Янв '13 21:23 
chameleon 1
@chameleon! Я очень доволен Вашим ответом: как видно, со сложными задачами Вы управляетесь гораздо успешнее, чем с примитивными, вроде пирамиды. Впредь буду иметь это в виду. Спасибо!
(18 Янв '13 22:10)
nikolaykruzh...
1
Приятно, что автор задачи и автор решения этой задачи нашли консенсус.
(19 Янв '13 14:14)
Anatoliy
@Anatoliy! Я ведь и Вас поблагодарил, но Вы убрали не только свой ответ, но и мою благодарность. Не знаю, насколько это этично. А я злопамятный: помню: Вы однажды заявили, что в моей благодарности Вы не нуждаетесь (Я, когда злой, злопамятен многомерно, как диагональ "куба")... Ну, не обижайтесь, если мой комментарий покажется Вам резковатым. Это типа шутки - и если она неудачна, простите меня великодушно.
(19 Янв '13 18:57)
nikolaykruzh...
Все в порядке.
(19 Янв '13 20:01)
Anatoliy
|
Чтобы всем числам хватило рядов