Имеется два ряда, почти ничем не отличающиеся друг от друга. Специалисты по рядам, объясните, пожалуйста, почему один ряд равен трансцендентному числу, а другой - рациональному?

$%\frac{1}{1}\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\frac{1}{7}+\frac{1}{9}\frac{1}{11}+…+\frac{1}{4n+1}\frac{1}{4n+3}+… = \frac{\pi}{8}$%

$%\frac{1}{1}\frac{1}{5} + \frac{1}{5}\frac{1}{9}+\frac{1}{9}\frac{1}{13}+…+\frac{1}{4n+1}\frac{1}{4n+5}+… = \frac{1}{4}$%

задан 18 Янв '13 20:14

Чтобы всем числам хватило рядов

(18 Янв '13 22:30) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
0

$$\sum_{i=0}^n\frac1{(4i+1)(4i+5)}=\sum_{i=0}^n\left(\frac1{4(4i+1)}-\frac1{4(4i+5)}\right)=\sum_{i=0}^n\frac1{4(4i+1)}-\sum_{i=0}^n\frac1{4(4i+5)}=$$ $$=\sum_{i=0}^n\frac1{4(4i+1)}-\sum_{i=1}^{n+1}\frac1{4(4i+1)}=\left(\frac14+\sum_{i=1}^n\frac1{4(4i+1)}\right)-\left(\frac1{4(4n+5)}+\sum_{i=1}^n\frac1{4(4i+1)}\right)=$$ $$=\frac14-\frac1{4(4n+5)}$$ При $%n\rightarrow\infty$%, данная сумма устремляется к $%\frac14$%, как Вы и написали.
А вот в первом ряде не получается так красиво сократить соседние элементы ряда, откуда и берется трансцендентность суммы.

ссылка

отвечен 18 Янв '13 21:23

1

@chameleon! Я очень доволен Вашим ответом: как видно, со сложными задачами Вы управляетесь гораздо успешнее, чем с примитивными, вроде пирамиды. Впредь буду иметь это в виду. Спасибо!

(18 Янв '13 22:10) nikolaykruzh...
1

Сложность - вещь относительная

(18 Янв '13 22:31) DocentI
1

Приятно, что автор задачи и автор решения этой задачи нашли консенсус.

(19 Янв '13 14:14) Anatoliy

@Anatoliy! Я ведь и Вас поблагодарил, но Вы убрали не только свой ответ, но и мою благодарность. Не знаю, насколько это этично. А я злопамятный: помню: Вы однажды заявили, что в моей благодарности Вы не нуждаетесь (Я, когда злой, злопамятен многомерно, как диагональ "куба")... Ну, не обижайтесь, если мой комментарий покажется Вам резковатым. Это типа шутки - и если она неудачна, простите меня великодушно.

(19 Янв '13 18:57) nikolaykruzh...

Все в порядке.

(19 Янв '13 20:01) Anatoliy
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×771

задан
18 Янв '13 20:14

показан
621 раз

обновлен
19 Янв '13 20:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru