Не могу найти интеграл $%(x^2+x-1)/(x^4+3x^2-4)$%, понимаю что скорее всего нужно использовать метод неопределенных коэффициентов, но разложить знаменатель как?

Второй пример при нахождении интеграла тем более непонят, сократить там у меня ни чего не получилось $%\frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt[6]{x} - 1} \right)}}{{\sqrt[3]{x} + 1}}$%.

Третий номер $%{\sin ^3}x \times {\cos ^4}x$%, в интрнете удалось найти готовую формулу для таого случая, но нам ее не давали на лекции.

Спасибо за помощь.

задан 18 Май '17 16:42

изменен 18 Май '17 17:07

10|600 символов нужно символов осталось
2

$%x^4+3x^2-4=(x-1)(x+1)(x^2+4). $% Во втором примере замена $%t=x^{1/6}. $% В третьем примере занесите синус под дифференциал.

ссылка

отвечен 18 Май '17 17:24

изменен 18 Май '17 17:25

@ASDMomentum: там три последних интеграла табличные, а в первом надо x dx записать как d(x^2+4)/2.

Зачем представлять при этом x в виде sqrt(x)^2, непонятно. С какой целью?

(18 Май '17 19:05) falcao

@falcao, так по таблице там стоят везде квадраты, поэтому и представляю в виде квадрата. Или есть другая таблица?

(18 Май '17 19:10) ASDMomentum

@ASDMomentum: интеграл от 1/(x-a) равен ln|x-a|+C после линейной замены. Это один из простейших видов интегралов, и такие вещи надо помнить наизусть! В таблице есть интеграл от 1/x, и одно к другому прямо сводится. С квадратами тут нужен только арктангенс для 1/(x^2+a^2).

(18 Май '17 19:24) falcao

@Амфибрахий, получается в №3 sin(x) под дифференциал, останется sin^2(x)cos^4(x)dcos(x). Затем (1-cos^2(x))cos^4(x)dcos(x) и получится два табличных интеграла?

(18 Май '17 19:57) ASDMomentum

@ASDMomentum: замена в №2 даёт интеграл от рациональной функции, который вычисляется стандартно. Надо числитель разделить на знаменатель с остатком.

В №3 после замены получается разность двух интегралов не просто табличных, а самых простых -- от степенных функций. Тут можно даже ничего не уточнять.

(18 Май '17 20:11) falcao

@falcao, а делая замену t=x^1/6, дифференциал останется просто dt? То есть будет интеграл (t^3+1)(t-1)/(t^2+1)dt?

(18 Май '17 20:33) ASDMomentum

@ASDMomentum: конечно, нет! Здесь x=t^6, и dx=6t^{5}dt.

(18 Май '17 20:47) falcao

@ASDMomentum: что именно непонятно? Дифференциал при замене всегда выражается по такому правилу. И получается рациональная функция. Как её интегрировать, я сказал выше.

(18 Май '17 21:33) falcao

@falcao, после замены какая будет функция и с каким дифференциалом? Такая - ((t^3+1)(t-1)/(t^2+1))6t^{5}dt?

(18 Май '17 21:35) ASDMomentum

@ASDMomentum: Вы сделали замену в функции, и спросили, правда ли, что dx=dt. Я объяснил, что замена происходит по другому правилу, то есть dx=6t^{5}dt. Получается то, что Вы сейчас написали. Это прямо следует из сказанного выше. Теперь надо решать дальше, а не останавливаться.

(18 Май '17 21:44) falcao

@falcao, деля замену t=x^1/6 получаем один дифференциал, если делать замену x=t^6, то уже будет другой дифференциал, хотя основная функция после замены останется та же (t^3+1)(t-1)/(t^2+1)? Почему это так?

(18 Май '17 22:02) ASDMomentum

@ASDMomentum: замена здесь только одна. Равенства t=x^{1/6} и x=t^6 означают одно и то же. Мы избавляемся от переменной x в пользу t, то есть dx выражаем через t с участием dt. Это стандартный приём, который обосновывается в теоретическом курсе, и дальше применяется без лишних размышлений. И здесь результат замены совершенно однозначен, если мы хотим везде избавиться от x.

(18 Май '17 22:13) falcao
показано 5 из 12 показать еще 7
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,265

задан
18 Май '17 16:42

показан
432 раза

обновлен
18 Май '17 22:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru