$%\;\;\;\;$% И снова здравствуйте! Вновь задача, решение которой не могу найти ни в книгах, ни в интернете. Интуитивно расположение всех точек понятно: $%B$% принадлежит окружности большего радиуса, $%C$% - меньшего. И точка $%O$% располагается к прямой $%BC$% ближе, чем точка $%A$%. Очень интересует как можно более подробное решение и обоснование, почему именно описанный случай расположения точек истинный, а остальные невозможны.

$%\;\;\;\;$% Если это поможет, то легко доказать, что $%BD=DC$%. На большее меня не хватило :(


$%\;\;\;\;$%Две окружности, касающиеся прямой $%BC$% в точках $%B$% и $%C$% соответственно, пересекаются в точках $%A$% и $%O$%. Прямые $%AO$% и $%BC$% пересекаются в точке $%D$%. Найти отношение $%AO : OD$%, если $%AB=6$%, $%AC=5$%, $%BC=4$%.


alt text

Ответ: $%\displaystyle \frac{45}{8}$%.

Все, кто мне помогут, обязательно удостоятся благодарности и упоминания в моей любительской "книге" (она будет в свободном доступе в сети).

задан 18 Май '17 21:12

10|600 символов нужно символов осталось
1

По свойству касательных и секущих, $%DB^2=DO\cdot DA=DC^2$%, откуда $%DB=DC=2$%. Этот вывод не зависит от расположения точек. Рассмотрим теперь тот порядок расположения точек, который дан на чертеже. Длину медианы $%m=AD$% легко найти стандартным образом по свойству параллелограмма. Это даёт $%(2m)^2+BC^2=2(AB^2+AC^2)$%, откуда $%m^2=53/2$%. С учётом того, что $%4=DB^2=DO\cdot m$%, имеем $%AD:OD=m^2/4=53/8$%, и тогда $%AO:OD=45/8$%.

Теперь предположим, что точки $%A$% и $%O$% расположены в другом порядке. Как и выше, $%AD=\sqrt{53/2} > 5$%. Но теперь $%DO=DA+AO > AD > 5$%, и оказывается, что $%4=DB^2 > 25$%, что является противоречием.

Можно также было заметить, что $%AD+BD > AB$% по неравенству треугольника, откуда $%AD > 6-2=4$%. Тогда $%DO=DB^2/AD < 4$%, и точка $%O$% расположена к $%D$% ближе, чем $%A$%.

ссылка

отвечен 18 Май '17 22:06

@falcao, спасибо за подробное решение.

(18 Май '17 22:29) Don_Eduardo
10|600 символов нужно символов осталось
0

Длина медианы $%AD$% тривиально находится по трем сторонам треугольника, $%DO \cdot DA=BD^2,$%вот и все решение. В какой книге искать свою благодарность?

ссылка

отвечен 18 Май '17 21:56

@Амфибрахий, как только я её закончу и опубликую в интернете, я Вас оповещу.

(18 Май '17 22:27) Don_Eduardo
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,114
×730

задан
18 Май '17 21:12

показан
365 раз

обновлен
18 Май '17 22:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru