Пусть задана некоторая главная универсальная нумерация вычислимых функций. Докажите, что множество номеров линейно растущих функций, т.е. таких, что для некоторых с > 0 и C при всех достаточно больших x верно $$cx < f(x) < Cx$$ неперечислимо и некоперечислимо

задан 19 Май '17 20:04

Может, надо как-то использовать m-сводимость?

(20 Май '17 13:02) dmin
10|600 символов нужно символов осталось
1

Покажем, что если одно из множеств перечислимо, то можно решить проблему остановки для машин Тьюринга.

Для начала предположим, что множество линейно растущих функций перечислимо. С каждой машиной M свяжем функцию f_M, значение которой на элементе n равно числу f_M(n) шагов, которые сделала головка за первые n тактов работы машины. Если машина останавливается за конечное время, то получается асимптотически константная функция. Если не останавливается, получается строго линейная функция f_M(n)=n.

Поскольку нумерация является главной, мы для каждой такой машины умеем эффективно вычислять номер программы, вычисляющей f_M. Если машина останавливается, то мы дожидаемся момента её остановки. Если не останавливается, то номер программы появится рано или поздно в ходе перечисления номеров линейно растущих функций. В итоге за конечное время будет дан ответ об остановке машины.

Теперь предположим, что множество линейно растущих функций коперечислимо. Здесь нужно для каждой машины M подобрать какую-то вычислимую функцию g_M, для которой g_M(n) росла бы линейно для останавливающихся машин, и нелинейно для машин, которые работают бесконечно долго. Сделаем это так: будем каждой машине начислять "баллы". Если она не остановилась и сделала очередной шаг, то начисляем ей k баллов, где k -- номер шага. Если остановка уже произошла, начисляем 1 балл. Тогда g_M(n) полагаем равным сумме баллов, набранных за время n. Останавливающиеся машины дают асимптотически линейную функцию, а не останавливающиеся -- квадратичную. Теперь, как и раньше, мы или дожидаемся остановки машины, или номер её программы появляется в списке номеров функций, не имеющих линейного роста.

ссылка

отвечен 21 Май '17 3:19

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,686
×886
×295

задан
19 Май '17 20:04

показан
557 раз

обновлен
21 Май '17 3:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru