$%A \in M_n(k); \ \ \ \ k - поле ;\ \ \ char(k) = 0, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \hspace{220pt} $% Доказать, что если $%trA^m = 0, \forall m = 1,...,n \Rightarrow A^n = 0 $% $$ $$

задан 20 Май '17 2:27

изменен 28 Май '17 20:27

Условие имеет скверный вид. Через k обозначено и поле, и показатель степени матрицы. В пункте 3 написано, что K принадлежит полю k, хотя K при этом названо "областью".

Я не говорю о том, что в первом пункте фигурирует число p, которое далее нигде не участвует. И по три задачи в одном вопросе обычно не предлагают, если они не взаимосвязаны.

(20 Май '17 7:51) falcao

Спасибо, исправил условие.

(28 Май '17 20:25) Heimdallr
10|600 символов нужно символов осталось
1

Приведём матрицу к жордановой форме над алгебраическим замыканием. По диагонали будут расположены корни характеристического многочлена. При возведении матрицы в степень диагональные элементы возведутся в ту же степень. Тогда условие равенства нулю следов степеней примет вид $%\lambda_1^m+\cdots+\lambda_n^m=0$% для всех $%1\le m\le n$%. Из этих уравнений надо вывести, что $%\lambda_1=\cdots=\lambda_n=0$%. Это будет значить, что характеристический многочлен матрицы $%A$% от переменной $%t$% с точностью до знака равен $%t^n$%. По теореме Гамильтона - Кэли, он аннулирует матрицу, откуда $%A^n=0$%.

Теперь можно сослаться на тождества Ньютона, согласно которым элементарные симметрические многочлены от переменных выражаются через суммы степеней. В левых частях тождеств находятся эти самые элементарные симметрические многочлены, умноженные на коэффициент, а правые части нулевые, так как суммы степеней нулевые. Поле имеет характеристику 0, и на коэффициенты можно разделить. Теперь ясно из соображений элементарной алгебры, что все $%\lambda_i$% нулевые.

ссылка

отвечен 28 Май '17 23:34

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,501
×416
×120

задан
20 Май '17 2:27

показан
528 раз

обновлен
28 Май '17 23:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru