1
1

(интеграл через вычеты) в ЧЕМ ЦЕННОСТЬ ВЫЧЕТОВ? Если лучше на примере, то вот:

(1) $% \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x\sin(x)}{(x^2+x+1)^2} dx $%

задан 20 Май '17 15:49

изменен 25 Май '17 20:26

Бывает так, что сама интеграл как неопределённый не выражается через элементарные функции, а как несобственный он может быть вычислен через контуры. Как выбирать контур для такого вида интегралов, описано в учебниках. Здесь всё как бы стандартно вполне.

(20 Май '17 19:28) falcao

@falcao, спасибо, а "физический" смысл здесь -- это до сих пор площадь под графиком ?

(25 Май '17 20:51) Романенко

@Романенко: да, конечно. Только надо брать разность площадей того, что выше оси Ox, и того, что ниже.

(25 Май '17 21:40) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Этот интеграл можно вычислить и не прибегая к вычетам, если рассмотреть его, как интеграл, зависящий от параметра. Например,

$$ I(a) =\int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{x \sin (ax)}{x^2 + x +1}dx. $$ Он сходится равномерно, например, при $%a \in [0.5, 1.5]$%. Значит, $%I(a)$% -- непрерывная функция, причем ее можно интегрировать "по-особому". Интегрируя, имеем $$ \int\limits_{0.5}^a I(a) da =- \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(ax)}{x^2 + x +1} dx $$ Последний интеграл -- это почти интеграл Лапласа, надо сделать линейную замену. А дальше, найти производную (как от интеграла с переменным верхним пределом) слева, справа продифференцировать полученную функцию и подставить $%1$%.

ссылка

отвечен 20 Май '17 20:04

@no_exception, спасибо,еще анализирую, а вот если знаменатель в квадрате(изменил)?И почему Вы преположили, что он равномерно сходится на отрезке $%a∈[0.5,1.5]$% ?И еще:а почему пределы интегрирования от $%0.5$% до $%a$% ?

(25 Май '17 20:28) Романенко
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×159
×133
×77

задан
20 Май '17 15:49

показан
391 раз

обновлен
25 Май '17 21:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru