Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость $%\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{[\sqrt{n}]}}{n}$%.

задан 20 Май '17 15:57

10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь абсолютной сходимости нет, что очевидно. Для проверки условной сходимости запишем ряд в таком виде: $%-(1+\frac12+\frac13)+(\frac14+\frac15+\frac16+\frac17+\frac18)-(\frac19+\frac1{10}+\cdots+\frac1{15})+\cdots$%. В таком виде ряд получается знакочередующимся, и достаточно проверить условия признака Лейбница.

Положим $%a_n=\frac1{n^2}+\frac1{n^2+1}+\cdots+\frac1{(n+1)^2-1}$%. Наш ряд имеет вид $%-a_1+a_2-a_3+a_4-\cdots$%. Число слагаемых в сумме равно $%2n+1$%, откуда следует, что $%a_n < \frac{2n+1}{n^2}$%, что стремится к нулю. Осталось проверить, что сходимость к нулю монотонная, то есть надо доказать неравенство $%a_n > a_{n+1}$%.

Выражение для $%a_{n+1}$% имеет на два члена больше. Сумму двух последних членов для $%a_{n+1}$% оценим сверху: $%\frac1{n^2+4n+2}+\frac1{n^2+4n+3} < \frac2{n^2+4n+1}$%. Остальные члены сравним попарно, а именно, $%\frac1{n^2+k}$% сравним с $%\frac1{(n+1)^2+k}$% при $%0\le k\le2n$%. Разность этих членов равна $%\frac{2n+1}{(n^2+k)((n+1)^2+k)}$%, и она не меньше $%\frac{2n+1}{(n^2+2n)(n^2+4n+1)}$% для каждой из $%2n+1$% пар. Из сказанного следует, что $%a_n-a_{n+1} > \frac{(2n+1)^2}{(n^2+2n)(n^2+4n+1)}-\frac2{n^2+4n+1}$%. Эта величина положительна, так как $%(2n+1)^2-2(n^2+2n)=2n^2+1 > 0$%. Таким образом, ряд сходится по признаку Лейбница, и эта сходимость условная.

ссылка

отвечен 20 Май '17 21:30

10|600 символов нужно символов осталось
1

Навешивание модулей превращает ряд в гармонический, т.е. абсолютной сходимости нет. Для исследования сходимости сгруппируйте рядом стоящие члены одинакового знака и изучите сходимость сгруппированного ряда.

ссылка

отвечен 20 Май '17 16:21

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×758

задан
20 Май '17 15:57

показан
468 раз

обновлен
20 Май '17 21:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru