Найти базы корневых подпространств линейного преобразования $%\varphi$%, заданного в базе $%e_1, e_2, e_3$% матрицей $%A=\begin{pmatrix} 3 & -5 & 1 \\ 8 & -9 & 0 \\ 4 & -4 & -1 \end{pmatrix}$%.

Правильно ли я понимаю алгоритм?

Сначала необходимо найти собственные значения линейного преобразования $%\varphi$%. Они будут равны $%\lambda_1=-1$% и $%\lambda_2=-3$%. Потом для каждого $%\lambda$% решаем системы уравнений $%|A-\lambda E|X=0$%, где $%X$% и будет базисом корневого подпространства.

Для $%\lambda_1=-1$% система дала $%x_1-x_2=0$%, $%x_3-x_2=0$%. Поэтому $%X=(c;c;c)$% и базис корневого подпространства для $%\lambda_1=-1$% состоит из вектора $%a_1=(1;1;1)$%.

Для $%\lambda_1=-3$% система дала $%2x_1-2x_2+x_3=0$%, $%x_2-2x_3=0$%. Поэтому $%X=(3c;4c;2c)$% и базис корневого подпространства для $%\lambda_1=-3$% состоит из вектора $%a_1=(3;4;2)$%.

С помощью wolframalpha посмотрел матрицу перехода к жордановой форме $%S=\begin{pmatrix} 3 & \frac{1}{2} & 1 \\ 4 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$%. Откуда взялся вектор $%(\frac{1}{2},0, 0) $%? Почему эти вектора записаны в матрицу перехода именно в таком порядке?

задан 20 Май '17 16:37

изменен 20 Май '17 16:57

10|600 символов нужно символов осталось
1

Вы неверно решили систему для $%\lambda_1 = -1$%. Ранг матрицы системы равен двум, а значит будет два базисных вектора.

Что касается того, как записывать матрицу перехода -- это дело вкуса (так как нет присоединенных векторов). От того, в каком порядке запишите, зависит расположение собственных чисел на диагонали жордановой формы.

ссылка

отвечен 20 Май '17 19:50

@no_exception, спасибо, разобрался! Верно ли я понял про базу корневых подпространств?

(20 Май '17 20:48) voevodin
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,333

задан
20 Май '17 16:37

показан
731 раз

обновлен
20 Май '17 20:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru