Легко доказать, что каждое из уравнений $$x^x=y^2+z^2$$ и $$x^x=y^3+z^3$$ имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

Чуть труднее доказать, что:

а) Уравнение $$x^x=y^4+z^4$$ имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

А верно ли, что существует такое натуральное $%n$%, для которого:

б) Уравнение $$x^x=y^n+z^n$$ имеет лишь конечное (возможно, нулевое) количество решений в натуральных числах?

задан 21 Май '17 12:16

10|600 символов нужно символов осталось
3

Рассмотрим самый общий случай (последний). Положим $%z=ay$%. Тогда правая часть уравнения равна $%y^n(1+a^n)$%. Будем рассматривать в качестве $%y$% степени последнего сомножителя, то есть $%y=(1+a^n)^k$%. Итого получится $%(1+a^n)^{nk+1}$%. Если $%a$% кратно $%n$%, то существует $%k$%, для которого основание степени равно показателю, и эту величину можно обозначить за $%x$%.

Таким образом, для любого натурального $%s$% полагаем $%a=ns$%, $%x=1+a^n$%, $%k=\frac1na^n=n^{n-1}s^n$%, $%y=(1+a^n)^k$%, $%z=ay$%, что даёт бесконечную серию решений.

ссылка

отвечен 21 Май '17 22:16

@falcao , большое спасибо!

(21 Май '17 23:53) Аллочка Шакед
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,218
×1,095
×338
×209
×158

задан
21 Май '17 12:16

показан
393 раза

обновлен
21 Май '17 23:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru