https://pp.userapi.com/c636431/v636431991/6f1fc/4s95n-vANCk.jpg Нужно найти количество решений в зависимости от "лямбда". Знаю, что разбирали уже такие системы, и все закономерности, связанные с зависимостью ранга от количества решений тоже помню. Прошу только помочь привести к нужному виду систему. Тут "лямбды" по главной диагонали...

задан 21 Май '17 14:37

Приводите к ступенчатому виду, как обычно, а потом анализируйте. Тут система симметрична, и это пример простой. Строки надо переставить в обратном порядке. Особыми случаями будут L=-2, когда система несовместна, и L=1, когда все три уравнения совпадают, и решений бесконечно много. В остальных случаях решение будет одно, и оно выражается через параметр L.

(21 Май '17 15:15) falcao

@falcao https://pp.userapi.com/c637617/v637617430/4c2b6/xpt4MT22feQ.jpg
Случай L=1 здесь понятен, ранг расширенной матрицы равен рангу из коэффициентов, и эти ранги меньше числа неизвестных. А вот как "увидеть", когда система несовместна? Там же по идее, хотя бы в одной строчке в левой части должен быть ноль, а справа какое-то число.

(22 Май '17 20:25) Стас001

@Стас001: давайте я сейчас отдельно напишу, как бы я решал этот пример. Можно считать, что мы знаем в этот момент метод Гаусса, но не знаем определителей, и по минимуму оперируем понятием ранга. Работаем не с системами, а с их расширенными матрицами.

(22 Май '17 22:04) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Параметр я обозначу через $%a$% для простоты. Также не буду писать вертикальную "чёрточку", отделяющую последний столбец (не помню, как её вписывать). Подразумеваем, что она везде есть.

$%\begin{pmatrix} a & 1 & 1 & 1\\ 1 & a & 1 & 1\\ 1 & 1 & a & 1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & a & 1\\ 1 & a & 1 & 1\\ a & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & a & 1\\ 0 & a-1 & 1-a & 0\\ 0 & 1-a & 1-a^2 & 1-a \end{pmatrix}\sim$%

$%\sim\begin{pmatrix} 1 & 1 & a & 1\\ 0 & a-1 & 1-a & 0\\ 0 & 0 & 2-a-a^2 & 1-a \end{pmatrix} $%

Теперь надо понять, где идут "ступеньки". Смотрим снизу, и видим, что это зависит от того, равно ли нулю число $%2-a-a^2$%. Решаем квадратное уравнение, и выделяем два особых случая $%a=1$% и $%a=-2$%. Их можно рассмотреть по отдельности, подставив значение $%a$%.

При $%a=1$% получатся две нулевые строки. Останется только первая, из которой $%x_2$%, $%x_3$% -- свободные неизвестные, $%x_1=1-x_2-x_3$% главная. Получается бесконечно много решений.

Теперь подставляем $%a=2$%. Последняя строка имеет вид $%(0 0 0 | 3)$%. Это признак несовместности системы. (То, что "громко" называется теоремой Кронекера - Капелли.) Здесь множество решений пусто.

Наконец, при $%a\ne1$%, $%a\ne-2$% имеем "случай общего положения". Вторую и третью строки сокращаем на $%a-1\ne0$%.

$%\begin{pmatrix} 1 & 1 & a & 1\\ 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & a+2 & 1 \end{pmatrix}$%

Здесь все неизвестные -- главные, и они последовательно выражаются, что приводит к единственному решению $%x_1=x_2=x_3=\frac1{a+2}$%.

ссылка

отвечен 22 Май '17 22:28

@falcao @all_exist Вот черт, я же еще и единицы забыл справа(( Задача чуть похитрее предыдущих, но все равно оказалась простой. Так все расписали подробно, что тут даже ребенок поймет. Спасибо большое! Что набиваете мою пустую голову такими полезными знаниями)

(22 Май '17 22:43) Стас001
1

@Стас001: хорошо, что Вы уловили общую идею. Теперь сможете её применять при решении задач. Важно использовать метод Гаусса, приведение к ступенчатому виду, а в конце анализировать вид "ступенек" в зависимости от значений параметра.

(22 Май '17 23:13) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Найдём определитель матрицы коэффициентов и приравняем его к нулю $$ \det A = \begin{vmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{vmatrix} = \lambda^3-3\lambda+2=0 \quad\Rightarrow\quad \lambda_1=1,\quad \lambda_2=-2 $$ Если $%\lambda\not=1;-2$%, то решение единственно...

Случай $%\lambda_1=1$% очевиден... решений бесконечно много...

Случай $%\lambda_2=-2$% исследуется просто... либо приводим к ступенчатому виду... либо вычисляем ранги по определению...
В данном случае $%\text{rang}\;A=2$%... вычислим минор расширенной матрицы, например, два первых столбца матрицы $%A$% и столбец $%B$% $$ \begin{vmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \not= 0, $$ откуда $%\text{rang}\;\overline{A}=3$%... решений нет...

ссылка

отвечен 22 Май '17 20:48

@all_exist Точноо.... Определители, и общее решение через параметр можно через них найти. А у меня на фото не ступенчатый вид? Там можно еще как-то упростить?

(22 Май '17 21:04) Стас001

А у меня на фото не ступенчатый вид? - нет, конечно... если бы Вы писали матрицы, а не уравнения, то сразу бы это увидели...

(22 Май '17 21:09) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×310

задан
21 Май '17 14:37

показан
560 раз

обновлен
22 Май '17 23:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru