$$\frac{1}{\left | P_n(x) \right |^2} \int_{-1}^{1}e^{ix}P_n(x)$$

Где $$P_n(x)$$ таково:

$$P_3(x)=\frac{1}{2}(5x^3-3x)$$ $$P_5(x)=\frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x)$$

Спасибо заранее!


Спасибо всем, кто пытался, или сочувствовал. =) Функцию я решил, с более подробным решением вы можите ознакомится по ссылкам ниже. (Загрузил бы сюда, но не хватает репутации). Решение расположено по порядку.

Причем, как вы видите на картинках, было весьма значимо додуматься представить sinx, как мнимую часть экспоненты, и после вычисления интегралов перейти от комплексных к действительным (т.к полиномы Лежандра имеют действительное решение), вспомня формулу Эйлера.

задан 27 Янв '12 11:57

изменен 28 Янв '12 18:04

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

Формула отредактирована, проверьте, пожалуйста, правильность.

(27 Янв '12 12:18) ХэшКод

Основная часть снимков переведена в формулы (без выкладок).

(28 Янв '12 18:05) ХэшКод
10|600 символов нужно символов осталось
3

Да, все верно! Правда 1 деленная на квадрат нормы, а тут получается что полином в модуле=)Я решил, фотки прикреплю чуток позже в теме!

Добавлено из снимков.

$$sinx = \sum_{n=0}^{\infty} C_nP_n(x)$$

$$\int_{-1}^{1} sinxP_m(x)dx= \sum_{n=0}^{\infty} P_m(x)P_n(x)dx= \frac{2C_m}{2m+1}$$

$$C_m= \frac{2m+1}{2} \int_{-1}^{1} sinxP_m(x)dx$$

Имеем $%C_1, C_3, C_5$%.

Воспользуемся формулой:

$$P_n(x)= \frac{1}{2^nn!} \frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n $$

Найдем

$$P_1(x)= x$$ $$P_3(x)= \frac{5}{2} x^3- \frac{3}{2} x$$ $$P_5(x)= \frac{63}{8} x^5 - \frac{70}{8} x^3 + \frac{15}{8} x$$

$$sinx=Ime^{ix}$$ $$Cn= \frac{1}{ {\parallel P_n(x) \parallel}^2 } \int_{-1}^{1} e^{ix}P_n(x)dx$$ $${\parallel P_n(x) \parallel}^2=\int_{-1}^{1} P_n(x)dx$$

Отсюда находим искомое.

ссылка

отвечен 27 Янв '12 21:29

изменен 28 Янв '12 18:03

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×358
×24

задан
27 Янв '12 11:57

показан
1876 раз

обновлен
28 Янв '12 18:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru