Найти все значения $%\alpha$%, при которых ряд: а) абсолютно сходится; б) условно сходится.

$%\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^{\alpha+n^{-1}}}$%.

задан 21 Май '17 18:56

Вроде множитель $%\sqrt[n]{n}$% в знаменателе не сильно мешает...

(21 Май '17 21:24) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
3

Множитель $%n^{n^{-1}}$% не влияет на свойство абсолютной сходимости, так как он стремится к 1, и даёт ряд, подобный ряду с общим членом $%n^{-\alpha}$%. При $%\alpha > 1$% такой ряд сходится по интегральному признаку. Значит, ряд из условия при этих значениях параметра сходится абсолютно.

Чтобы ряд сходился, общий член должен стремиться к нулю. Это значит, что знаменатель должен стремиться к бесконечности, что имеет место при $%\alpha > 0$%. При $%\alpha\le0$% ряд расходится.

Осталось доказать условную сходимость при $%0 < \alpha\le1$%. Здесь надо опираться на признак Лейбница. Сходимость к нулю уже есть, и надо показать, что она монотонная. Это значит, что знаменатель монотонно возрастает, начиная с некоторого члена.

Чтобы это доказать, можно рассмотреть функцию от $%x$%. Она возрастает, если возрастает её логарифм. Он равен $%(\alpha+\frac1x)\ln x$%. Производная равна $%-\frac{\ln x}{x^2}+\frac{\alpha}x+\frac1{x^2}$%. Главным членом является среднее слагаемое, так как логарифм растёт медленнее линейной функции. Поэтому производная будет положительна при достаточно больших $%x$%.

ссылка

отвечен 22 Май '17 0:00

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×758

задан
21 Май '17 18:56

показан
295 раз

обновлен
22 Май '17 0:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru