Найти все многочлены вида, удовлетворяющие условию P(x) = P(1-x) над произвольным коммутативным ассоциативным кольцом с 1.

Я показал, что такими многочленами могут быть только многочлены с чётными степенями. Также предполагаю, что их вид будет такой: \begin{equation} \sum_{i=0}^{k} a_i \, x^i \left(1-x \right)^i \end{equation}

Никак не получается доказать, что другого вида они иметь не будут.

задан 22 Май '17 8:03

изменен 22 Май '17 8:37

10|600 символов нужно символов осталось
0

Для уравнения P(x)=P(x-1) не будет ничего, кроме констант -- многочлен бесконечно много раз принимает одно и то же значение. Судя по всему, должно быть P(x)=P(1-x).

Если заменить переменную, полагая t=x-1/2, то получится P(t+1/2)=P(1/2-t). Пусть Q(t)=P(t+1/2). Тогда Q(t)=Q(-t), этот многочлен является чётной функцией. Значит, у него все показатели степеней при t чётны. Отсюда выводится описание. (Сейчас очень спешу, поэтому кратко.)

ссылка

отвечен 22 Май '17 8:33

Да, я ошибся, но, хочу сказать, что деления в кольце в общем случае нет. Поэтому, так сделать, я думаю, не выйдет.

(22 Май '17 8:38) Cristy

@Cristy: я решал второпях, поэтому не обратил внимания на то, что кольцо почти произвольно (мысленно рассматривал действительные коэффициенты).

По идее, здесь можно рассматривать вложение в поле частных, и если char P не равно 2, то можно делить на 2, и описание в принципе годится. Если же характеристика равна двум, то можно проанализировать отдельно. Но я думаю, что здесь есть какое-то решение и получше, то есть надо получить разложение по базису из (x(1-x))^m.

(22 Май '17 15:48) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,709
×1,114
×415

задан
22 Май '17 8:03

показан
543 раза

обновлен
22 Май '17 15:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru