Есть последовательность независимых случайных величин, которые имеют одинаковое эскпоненциальное распределение с параметром лямбда равным 1. Сколько в среднем надо сложить таких случайных величин, чтобы эта сумма впервые достигла значения 1?

задан 22 Май '17 13:41

10|600 символов нужно символов осталось
2

Можно решить эту задачу, исходя из определений, найдя распределение случайной величины $%\nu$% из условия. Вероятность того, что $%\nu$% примет значение $%n\ge1$%, равна $%P(Y_1+\cdots+Y_{n-1} < 1 < Y_1+\cdots+Y_n)$%. Эта величина выражается через совместную плотность $%\lambda^ne^{-(y_1+\cdots+y_n)}$% в виде $%n$%-мерного интеграла от неё по области, задаваемой неравенствами $%y_1+\cdots+y_{n-1} < 1 < y_1+\cdots+y_n$%, где все $%y_i$% положительны.

Рассмотрим треугольную линейную замену переменных, полагая $%x_1=y_1$%, $%x_2=y_1+y_2$%, ... , $%x_n=y_1+\cdots+y_n$%. Якобиан такой замены равен 1. Из условий положительности получается $%0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n-1} < 1 < x_n$% в качестве области интегрирования. Порядок следования первых $%n-1$% переменных может быть любым, и из соображений симметрии можно разделить на $%(n-1)!$%, считая, что $%0 < x_1,...,x_{n-1} < 1 < x_n$%. Перед интегралом появляется множитель $%\frac{\lambda^n}{(n-1)!}$%, интегрируемая функция равна $%e^{-\lambda x_n}$%, а интеграл по первым $%n-1$% переменным равен объёму единичного $%(n-1)$%-мерного куба, то есть 1. Получается $%\frac{\lambda^n}{(n-1)!}\int\limits_1^{\infty}e^{-\lambda x_n}\,dx_n=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{n-1}}{(n-1)!}$%, то есть $%\nu-1$% имеет пуассоновское распределение с параметром $%\lambda$%.

Матожидание пуассоновской с.в. равно $%\lambda$%, поэтому среднее число слагаемых равно $%1+\lambda$%.

ссылка

отвечен 22 Май '17 23:02

изменен 22 Май '17 23:03

10|600 символов нужно символов осталось
0

Решение этой задачи основано на одном из стандартных способов моделирования пуассоновского процесса: если $%x_n-$% последовательность независимых случайных величин ($%x_0=0$%), которые имеют одинаковое экспоненциальное распределение с параметром лямбда,и $%y_n=\sum_{k=0}^{n}x_k,$% то случайный процесс $%Z_t=\sup\{n\geq 0: y_n\leq t\}, t\geq 0-$% пуассоновский процесс с тем же параметром лямбда. Док-во цитированной теоремы можно найти, например, в этом пособии.

ссылка

отвечен 22 Май '17 19:00

изменен 22 Май '17 22:40

falcao's gravatar image


253k23650

@Амфибрахий, если $%Z_t$% - это супремум по $%n$%, то как находить среднее число $%n$%?...

(22 Май '17 21:38) all_exist

@Амфибрахий: я слегка подправил ссылку, чтобы она не занимала длинную строку.

(22 Май '17 22:41) falcao

@all_exist , так ведь этот супремум и соответствует номеру суммы, когда впервые будет достигнуто $%t.$%

@falcao, благодарю! Я и сам пытался ссылаться с помощью стандартных тегов, но получалось "криво" (как здесь правильно называть ники собеседников, я пока тоже не научился.)

(22 Май '17 23:01) Амфибрахий

@Амфибрахий: для обращения нужно перед ником участника ставить знак @.

Ссылки оформляются так: в квадратных скобках -- выделяемое слово, за ними "впритык" идёт адрес ссылки, заключённый в круглые скобки.

(22 Май '17 23:05) falcao

@Амфибрахий, так ведь этот супремум и соответствует номеру суммы - честно говоря, я не силён в случайных процессах... поэтому всё равно не понятно, как из супремума получать среднее...

(23 Май '17 0:21) all_exist

@all_exist,cреднее число слагаемых - это матожидание полученного распределения Пуассона.Учитывая, что нужно было добавить одно нулевое слагаемое, получится тот же ответ, что и у @falcao.

(23 Май '17 10:10) Амфибрахий

@Амфибрахий, cреднее число слагаемых - это матожидание полученного распределения Пуассона. - мдя, плохо не знать терминологии и определений для матаппарата... (((

Я пытался вычислить распределение в лоб... но заплутал в ФР от суммы...

(23 Май '17 14:19) all_exist
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×859
×67

задан
22 Май '17 13:41

показан
843 раза

обновлен
23 Май '17 14:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru