Помогите с определением определением свободной абелевой группы

задан 23 Май '17 0:10

10|600 символов нужно символов осталось
1

Есть два эквивалентных определения -- "абстрактное" и "конструктивное".

Первое определение -- это группа, свободная в многообразии всех абелевых групп. Детали можно посмотреть, например, в книге Ханны Нейман. Более простое и понятное определение такое: свободной абелевой группой называется прямая (или декартова, что в данном случае равносильно) степень бесконечной циклической группы. То есть, например, для конечно-порождённых групп это будут группы вида $%\mathbb Z^n=\mathbb Z\times\cdots\times\mathbb Z$%. В таком виде устройство этих групп задаётся явно, и с ним очень просто работать.

При этом полезно знать такой факт, что если дана произвольная абелева группа $%A$% с множеством порождающих $%S$% мощности $%n$%, то она является гомоморфным образом свободной абелевой группы ранга $%n$%, то есть $%\mathbb Z^n$%.

Иногда удобно ещё представлять дело так, что свободная абелева группа обладает свободным базисом, то есть таким множеством образующих $%a_1$%, ... , $%a_n$%, что между ними нет никаких других соотношений помимо соотношений коммутативности. Тогда любой элемент группы однозначно записывается в виде $%a_1^{k_1}...a_n^{k_n}$%, где показатели -- целые числа. При умножении таких элементов показатели складываются, то есть можно считать, что мы работаем с целочисленными векторами $%(k_1,...,k_n)$%, которые складываются покоординатно. А это и есть в точности $%\mathbb Z^n$%. Если запись операции аддитивная, то удобнее говорить о прямой сумме вместо прямого произведения, хотя это почти одно и то же.

ссылка

отвечен 23 Май '17 0:21

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×860
×63

задан
23 Май '17 0:10

показан
360 раз

обновлен
23 Май '17 0:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru