Как док-ть, что A = B прямая сумма (прямая сумма по k от 1 до n G_k)?

задан 23 Май '17 0:13

А как можно доказать что-либо, не зная, что обозначено через A, B и G_k? Вопрос в таком виде звучит несколько комично.

(23 Май '17 0:24) falcao

A – абелева группа, а B ⊂ A такая ее подгруппа, что фактор- группа A/B – свободная. Тогда A является прямой суммой B и некоторой свободной абелевой группы

(23 Май '17 0:27) vk2017

@vk2017: у меня встречный вопрос. Понимаете ли Вы, что без этой информации вопрос лишён какого бы то ни было смысла? Ведь буквами A, B можно обозначить что угодно.

(23 Май '17 0:29) falcao

да, понимаю, извините, что не дописала

(23 Май '17 0:35) vk2017
10|600 символов нужно символов осталось
0

Рассмотрим свободный базис группы $%A/B$%. Для каждого элемента этого базиса рассмотрим его прообраз в $%A$% при естественном гомоморфизме. Обозначим множество таких прообразов через $%S$%. Возьмём подгруппу $%H$% в $%A$%, порождённую множеством $%S$%. Она будет свободной абелевой с базисом $%S$%, так как любой элемент из $%H$% однозначно записывается в виде (коммутативного) произведения степеней элементов из $%S$%. В противном случае образы элементов из $%S$% не давали бы базиса свободной абелевой группы, вопреки условию.

Проверим, что $%A=B+H$% как сумма подгрупп. Возьмём любой элемент $%a\in A$%. При естественном гомоморфизме $%A\to A/B$% он переходит в элемент свободной абелевой группы, и раскладывается по базису. Рассмотрим разложение по базису $%S$% с тем же набором показателей. Это элемент $%h$% из $%H$%, и его образ при гомоморфизме такой же. Значит, эти элементы отличаются на элемент из ядра, то есть из $%B$%. Это значит, что $%a-h=b\in B$%, то есть $%a=b+h$%.

Осталось доказать, что эта сумма -- прямая. Это значит, что пересечение $%B$% и $%H$% нулевое. В самом деле, если элемент из $%H$% записать в виде $%s_1^{k_1}...s_n^{k_n}$%, где $%s_i\in S$% -- базисные элементы, и при этом среди показателей есть ненулевые, но он при гомоморфизме перейдёт в ненулевой элемент свободной абелевой группы $%A/B$%, то есть он не будет лежать в $%B$%. Получается, что для элемента из $%B$% выполняются равенства $%k_1=\cdots=k_n=0$%, и этот элемент нулевой.

Итого $%A\cong B\oplus H$%, где $%H$% -- свободная абелева группа, изоморфная $%A/B$%. Она, в свою очередь, изоморфна прямой сумме бесконечных циклических.

ссылка

отвечен 23 Май '17 0:44

изменен 23 Май '17 0:50

спасибо большое!

(23 Май '17 0:48) vk2017
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,019

задан
23 Май '17 0:13

показан
281 раз

обновлен
23 Май '17 0:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru