Вопрос + пояснение к комментарию. math.hashcode.ru/questions/125388/

Доказал данную теорему: Теорема. Пусть G=(A*B;H) – свободное произведение групп A и B с объединенной под-группой H. Если H≠A и H≠B то центр Z(G) группы G совпадает с подгруппой H∩Z(A)∩Z(B).

Возникли проблемы со следствием (правильно и грамотно построить доказательство):
Следствие. Центр свободного произведения G=A*B совпадает с единичной подгруппой.

Хотел бы Вас попросить посмотреть правильность док-ва след. теоремы (+ не могу найти материала по теме "центр прямого произведения 2-ух групп"; "центр свободного произведения с объединенной подгруппой")

Теорема. Пусть G=(A*B;[H;K]=1)- свободное произведение групп A и B коммутирующими подгруппами H и K. Тогда
1. Если H≠A и K≠B, то центр Z(G) группы G совпадает с единичной подгруппой.
2. Если H=A и K≠B, то Z(G)=Z(K).
3. Если H≠A и K=B, то Z(G)=Z(H).
4. Если H=A и K=B, то Z(G)=Z(A)Z(B).

Напомним, что G=(M * N;N), где M=(A * U;H), N=(B * U;K) и U=H × K.
Пусть H≠A и K≠B, если хотя бы одна из подгрупп H или K является единичной, то группа G=A * B есть обычное свободное произведение, и требуемое утверждение обеспечивается вышеприведенным следствием.
Поэтому можно считать подгруппы H и K неединичными.
Тогда H≠U и K≠U, а потому U≠M и U≠N. Следовательно, в соответствии с предыдущей теоремой

Z(G)=U∩Z(M)∩Z(N),

Z(M)=H∩Z(A)∩Z(U) и Z(N)=H∩Z(B)∩Z(U).

Кроме того, Z(U)=Z(H)Z(K) и Z(U)∩H=Z(H) и Z(U)∩K=Z(K).

Отсюда: Z(M)=Z(H)∩Z(A) и Z(N)=Z(K)∩Z(B).

Поэтому:

Z(G)=U∩Z(H)∩Z(A)∩Z(K)∩Z(B)⊆U∩A∩B=(U∩A)∩(U∩B)=1

Предположим теперь, что H=A и K≠B Тогда M=U и потому G=N. Так как K≠U, K≠B и U=A×K, то Z(N)=K∩Z(B)∩Z(U)=Z(B)∩(K∩Z(A)Z(K))=Z(B)∩Z(K)=Z(K), и утверждение 2 доказано.
Утверждение 3 доказывается аналогично, а утверждение 4 очевидно, так как в случае H=A и K=B, имеем G=A×B.

задан 23 Май '17 21:09

изменен 23 Май '17 21:12

@volakir: по-моему, Вы здесь ломитесь в открытую дверь. Свободное произведение есть частный случай свободного произведения с объединённой подгруппой, причём намного более лёгкий. Нужно просто считать, что H=1, и получится обычное свободное произведение. Если A и B обе неединичны, то центр равен пересечению единичной подгруппы H с чем-то. Понятно, что это единичная подгруппа.

По поводу произведений с коммутирующими подгруппами -- это надо обсудить позже. Главная задача -- выбрать удобные обозначения, в которых всё будет очевидно.

(23 Май '17 21:22) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,019

задан
23 Май '17 21:09

показан
262 раза

обновлен
23 Май '17 21:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru