Доказать, что мн-во A = {(x^1,x^2,...} в l2 : x^1+x^3 =<1 } открыто в l2. Являются ли точки (1,1/2,1/4,1/2,...) или (0,0,1,0,..) предельными для А?

задан 24 Май '17 11:56

Для условия открытости обычно берутся строгие неравенства.

(24 Май '17 19:01) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Утверждение об открытости - ложное. Рассмотрим $%\delta>0,$% тогда в $%\delta-$% окрестности принадлежащей рассматриваемому множеству точки $% (0,0,1,0,..)$% лежит точка $% (0,0,1+\delta/2,0,..),$% но $%0+1+\delta/2>1-$% противоречие.

ссылка

отвечен 24 Май '17 12:13

изменен 24 Май '17 12:16

а как доказать, что оно не открыто в l2?

(25 Май '17 15:02) alex45213

Так я же написал про это в своем ответе.

(25 Май '17 17:00) Амфибрахий

@alex45213: в ответе как раз и дано доказательство. Рассматривается произвольная окрестность точки, и она не может целиком содержаться в A. Значит, A не открыто.

(25 Май '17 17:02) falcao

а если бы неравенство было бы строгое? у нас бы не было противоречия?

(25 Май '17 20:07) alex45213

@alex45213: для строгого неравенства множество было бы открыто. Доказательство там такое же, как для конечномерного случая. Радиус окрестности нужно взять достаточно малым -- меньше расстояния от точки (x,y) до прямой x+y=1.

(25 Май '17 21:44) falcao

то есть пытаться доказывать через то что предельные точки не принадлежат А?

(25 Май '17 22:20) alex45213

@alex45213: да там нечего доказывать. Понятно, что при переходе к пределу сумма первой и третьей координат останется не больше 1, то есть 1+1/4 никак не будет. А вторая точка просто принадлежит множеству, и является пределом точек вида (0,0,1-1/n,0,...), если неравенство заменить на строгое.

(25 Май '17 23:42) falcao

Всеравно не понятно, как при строгом неравенстве доказывать что предельные точки не принадлежат множеству ?

(2 Июн '17 11:27) alex45213

Как доказывать открытость в l2?

(2 Июн '17 11:27) alex45213

@alex45213: если неравенство нестрогое, то никак, потому что это неверно. Если заменить на строгое, то я уже отвечал на этот вопрос выше.

(3 Июн '17 1:16) falcao
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×35
×5

задан
24 Май '17 11:56

показан
523 раза

обновлен
3 Июн '17 1:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru